1 . 如图，B，A是椭圆的左、右顶点，P，Q是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是，，.

（1）求证：；
（2）若直线PQ过定点，求证：.

2 . 已知椭圆:，过椭圆上一点作倾斜角互补的两条直线、，分别交椭圆于、两点，则直线的斜率为_________.

3 . 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验，设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为.观测点、同时跟踪航天器.

（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点、测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？

4 . 和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间平面和曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹，在空间直角坐标系中，空间平面和曲面的方程是一个三原方程.
（1）类比平面解析几何中直线的方程，写出①过点，法向量为的平面的点法式方程；②平面的一般方程；③在，，轴上的截距分别为，，的平面的截距式方程.（不需要说明理由）
（2）设、为空间中的两个定点，，我们将曲面定义为满足的动点的轨迹，试建立一个适当的空间直角坐标系，求曲面的方程.
（3）对（2）中的曲面，指出和证明曲面的对称性，并画出曲面的直观图.

5 . 已知椭圆（），点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知.
（1）若，判断椭圆是否为“圆椭圆”；
（2）若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围；
（3）若椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，为关于原点的对称点，也异于点，直线、分别与轴交于、两点，试问以线段为直径的圆是否过定点？证明你的结论.

6 . 用平面截圆柱面，当圆柱的轴与所成角为锐角时，圆柱面的截面是一个椭圆，著名数学家创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切.给出下列三个结论：

①两个球与的切点是所得椭圆的两个焦点；
②若球心距，球的半径为，则所得椭圆的焦距为2；
③当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.
其中，所有正确结论的序号是（       ）

A．①

B．②③

C．①②

D．①②③

7 . 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线，弦过焦点，为阿基米德三角形，则的面积的最小值为

A．

B．

C．

D．

8 . 给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“伴椭圆”，若椭圆的一个焦点为，其短轴上一个端点到的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作椭圆的“伴随圆”的动弦，过点、分别作“伴随圆”的切线，设两切线交于点，证明：点的轨迹是直线，并写出该直线的方程；
（3）设点是椭圆的“伴随圆”上的一个动点，过点作椭圆的切线、，试判断直线、是否垂直？并说明理由.

9 . 在平面直角坐标系中，两点间的“L-距离”定义为则平面内与轴上两个不同的定点的“L-距离”之和等于定值（大于）的点的轨迹可以是（ ）

A．

B．

C．

D．

10 . 已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．