1 . 给出下列两个定义：
I.对于函数，定义域为，且其在上是可导的，若其导函数定义域也为，则称该函数是“同定义函数”.
II.对于一个“同定义函数”，若有以下性质：
①；②，其中为两个新的函数，是的导函数.
我们将具有其中一个性质的函数称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数称之为“双向导函数”，将称之为“自导函数”.
(1)判断函数和是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；
(2)已知命题是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题.判断命题是的什么条件，证明你的结论；
(3)已知函数.
①若的“自导函数”是，试求的取值范围；
②若，且定义，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

3 . 已知函数有两个极值点.
（1）记，若在处有公共切线，求实数b的取值范围；
（2）求证：当时，

4 . 已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的最大值．

5 . 设为实常数，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）设，不等式的解集为，不等式的解集为，当时，是否存在正整数，使得或成立．若存在，试找出所有的m；若不存在，请说明理由．