1 . 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列．可以推测：
   
（1）是数列中的第______项；
（2）______．（用表示）

2 . 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用．例如求方程的近似解，先用函数零点存在定理，令，，，得上存在零点，取，牛顿用公式反复迭代，以作为的近似解，迭代两次后计算得到的近似解为______；以为初始区间，用二分法计算两次后，以最后一个区间的中点值作为方程的近似解，则近似解为______．

4 . 我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图像的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算.设，则曲线在点处的切线方程为__________，用此结论计算__________.

6 . 现代建筑讲究的线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率，若曲线和在处的曲率分别为，，则______；设余弦曲线的曲率为K，则的最大值为______

8 . 令，对抛物线，持续实施下面牛顿切线法的步骤：
在点处作抛物线的切线，交x轴于；
在点处作抛物线的切线，交x轴于；
在点处作抛物线的切线，交x轴于；

由此能得到一个数列．
（1）设，则_____________；
（2）用二分法求方程在区间上的近似解，根据前4步结果比较，可以得到牛顿切线法的求解速度为_____________．

9 . 黎曼猜想由数学家波恩哈德∙黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想研究的是无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手.请你回答以下问题
（1）__________；（其中表示不超过的最大整数，.）
（2）已知正项数列的前项和为，且满足，则__________.

10 . 欧拉公式把自然对数的底数、虚数单位、三角函数和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被兴为“数学中的天桥”，若复数满足，则的虚部是___________，___________.