1 . 对于正实数有基本不等式：，其中，为的算术平均数，，为的几何平均数．现定义的对数平均数：
(1)设，求证：：
(2)①证明不等式：：
②若不等式对于任意的正实数恒成立，求正实数的最大值．

2 . 形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得，两边对求导数，得，于是.已知，.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若，恒成立，求的取值范围.

3 . 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，直线与曲线和曲线都相切，切点分别为，，求证：．

4 . 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，过分别作曲线与的切线，且与关于轴对称，求证:.

5 . 已知函数是的导函数，为自然对数的底数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：；
（3）当时，判断函数零点的个数，并说明理由．

6 . 设函数的定义域，若对任意，都有，则称函数为“storm”函数.已知函数的图象为曲线，直线与曲线相切于.
（1）求的解析式；
（2）设，若对，函数为“storm”函数，求实数的最小值.

7 . 已知函数．
（1）当时，求函数的极小值；
（2）设定义在上的函数在点处的切线方程为：，当时，若在内恒成立，则称为函数的“转点”．当时，试问函数是否存在“转点”？若存在，求出转点的横坐标；若不存在，请说明理由．