1 . 将下列问题的解答过程补充完整．
依次计算数列，，，，…的前四项的值，由此猜测的有限项的表达式，并用数学归纳法加以证明．
解：计算 ，
，
① ，
② ，
由此猜想 ③ ．（*）
下面用数学归纳法证明这一猜想．
（i）当时，左边，右边，所以等式成立．
（ⅱ）假设当时，等式成立，即
④ ．
那么，当时，
                        ⑤                        
      ⑥      
      ⑦      ．
等式也成立．
根据（i）和（ⅱ）可以断定，（*）式对任何都成立．

2 . 请你从下列两个递推公式中，任意选择一个填入题中横线上，并解答题后的两个问题：
①
②
已知数列的前项和为，且，_______.
(1)求；
(2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.

3 . 已知函数.
（Ⅰ）求方程的实数解；
（Ⅱ）如果数列满足，（），是否存在实数，使得对所有的都成立？证明你的结论．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设数列的前项的和为，证明：．

4 . 设函数.
（1）化简：；
（2）已知：，求的表达式；
（3），请用数学归纳法证明不等式.

5 . 已知数列满足，.
(1)计算的值；
(2)求数列的通项公式；
(3)设，为整数，不等式对一切且均成立，求的最大值.

6 . 已知数列满足，且，．
(1)计算，；
(2)求猜测的通项公式，并证明；
(3)设，问是否存在使不等式对一切且均成立的最大整数，若存在请求出，若不存在，请说明理由．