解题方法
1 . 阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径.某年级共有学生500人,其中男生300人,女生200人,为了解学生每个学期的阅读时长,采用分层抽样的方法抽取样本,收集统计了他们的阅读时长(单位:小时),计算得男生样本的均值为100,标准差为16,女生样本的均值为90,标准差为19.
(1)如果男、女的样本量都是25,请估计总样本的均值.以该结果估计总体均值合适吗?为什么?
(2)已知总体划分为2层,采用样本量比例分配的分层随机抽样,各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为:
,
,
;
,
,
.记总的样本的均值为
,样本方差为
.
(ⅰ)证明:
;
(ⅱ)如果已知男、女样本量按比例分配,请直接写出总样本的均值和标准差(精确到1):
(3)假设全年级学生的阅读时长服从正态分布
,以(ⅱ)总样本的均值和标准差分别作为
和
的估计值.如果按照
的比例将阅读时长从高到低依次划分为
,
,
,
四个等级,试确定各等级时长(精确到1).
附:
,
,
,
.
(1)如果男、女的样本量都是25,请估计总样本的均值.以该结果估计总体均值合适吗?为什么?
(2)已知总体划分为2层,采用样本量比例分配的分层随机抽样,各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bfbe7f95b5d89f9409ec24536da9e826.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dfbc29b47b83fdc5368770b7b1acb439.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ab1295cbd36fdc55a55b549aa2dd5887.png)
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(ⅰ)证明:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/217223e16eb491561c4ca844c0b52f81.png)
(ⅱ)如果已知男、女样本量按比例分配,请直接写出总样本的均值和标准差(精确到1):
(3)假设全年级学生的阅读时长服从正态分布
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附:
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名校
解题方法
2 . “熵”常用来判断系统中信息含量的多少,也用来判断概率分布中随机变量的不确定性大小,一般熵越大表示随机变量的不确定性越明显.定义:随机变量
对应取值
的概率为
,其单位为bit的熵为
,且
.(当
,规定
.)
(1)若抛掷一枚硬币1次,正面向上的概率为
,正面向上的次数为
,分别比较
与
时对应
的大小,并根据你的理解说明结论的实际含义;
(2)若拋郑一枚质地均匀 的硬币
次,设
表示正面向上的总次数,
表示第
次反面向上的次数(0或1).
表示正面向上
次且第
次反面向上
次的概率,如
时,
.对于两个离散的随机变量
,其单位为bit的联合熵记为
,且
.
(ⅰ)当
时,求
的值;
(ⅱ)求证:
.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/25c94a17b49550283be4ec1a348c8534.png)
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(1)若抛掷一枚硬币1次,正面向上的概率为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/109ac38599926de9fd89470f561f6664.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8e6c6ec3ea184362694ba9c2dd2cbfd0.png)
(2)若拋郑一枚
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c814128ea2139e33db94ea590e7c2223.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/54015ff5b49e3283901da1291b6b921d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be604061cf1591f7069472269d4c9719.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4d65362f7197f0e2cc05d879b3341584.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6b8f9de90ca38f627eba375b15eb3e8f.png)
(ⅰ)当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be604061cf1591f7069472269d4c9719.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/afbabe5b63ff142225e3ae59e7b88b3c.png)
(ⅱ)求证:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e1109931e8c85ff6b8bb894e6d5d4017.png)
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2024-05-13更新
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1205次组卷
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2卷引用:广东省广州市广雅中学2024届高三下学期教学情况检测(三)数学试题
名校
解题方法
3 . 为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度,厂家随机选取了2000名顾客进行回访,调查结果如表:
注:
1.满意度是指:某款式运动鞋的回访顾客中,满意人数与总人数的比值;
2.对于每位回访顾客,只调研一种款式运动鞋的满意度.假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立,用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率.
(1)从所有的回访顾客中随机抽取1人,求此人是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率;
(2)从A、E两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1人,设其中满意的人数为
,求
的分布列和数学期望;
(3)用“
”和“
”分别表示对A款运动鞋满意和不满意,用“
”和“
”分别表示对B款运动满意和不满意,试比较方差
与
的大小.(结论不要求证明)
运动鞋款式 | A | B | C | D | E |
回访顾客(人数) | 700 | 350 | 300 | 250 | 400 |
满意度 |
1.满意度是指:某款式运动鞋的回访顾客中,满意人数与总人数的比值;
2.对于每位回访顾客,只调研一种款式运动鞋的满意度.假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立,用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率.
(1)从所有的回访顾客中随机抽取1人,求此人是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率;
(2)从A、E两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1人,设其中满意的人数为
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
(3)用“
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/793bd9d1f414dbdb881855aa6ae3de79.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1317f8d562994833f26f0a2638cf19cf.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1e6758efac2adc2391383504ffd0853e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c3a89b9a24bcbe7e7e931b44ecfde397.png)
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2023-12-25更新
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845次组卷
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8卷引用:广东省广州市中山大学附中2024届高三上学期第一次调研数学试题
广东省广州市中山大学附中2024届高三上学期第一次调研数学试题北京市顺义区第一中学2024届高三上学期12月月考数学试题(已下线)第10讲 离散型随机变量的均值与方差-【寒假预科讲义】2024年高二数学寒假精品课(人教A版2019)(已下线)专题19 离散型随机变量及其分布列11种常见考法归类(4)(已下线)专题21 概率与统计的综合运用(13大核心考点)(讲义)(已下线)第05讲 7.3.2离散型随机变量的方差-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练(人教A版2019选择性必修第三册)(已下线)专题7.6 离散型随机变量及其分布大题专项训练【六大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列(人教A版2019选择性必修第三册)(已下线)7.3.2 离散型随机变量的方差——课后作业(提升版)
解题方法
4 . 在组合恒等式的证明中,构造一个具体的计数模型从而证明组合恒等式的方法叫做组合分析法,该方法体现了数学的简洁美,我们将通过如下的例子感受其妙处所在.
(1)对于
元一次方程
,试求其正整数解的个数;
(2)对于
元一次方程组
,试求其非负整数解的个数;
(3)证明:
(可不使用组合分析法证明).
注:
与
可视为二元一次方程的两组不同解.
(1)对于
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(2)对于
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/aa38e21db62123319c9557d1bc52825d.png)
(3)证明:
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注:
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2024-03-08更新
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1099次组卷
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3卷引用:广东省五粤名校联盟2024届高三第一次联考数学试题
名校
5 . 杭州亚运会吉祥物为一组名为“江南忆”的三个吉祥物“宸宸”,“琮琮”,“莲莲”,聚焦共同的文化基因,蕴含独特的城市元素.本次亚运会极大地鼓舞了中国人民参与运动的热情.某体能训练营为了激励参训队员,在训练之余组织了一个“玩骰子赢礼品”的活动,他们来到一处训练场地,恰有20步台阶,现有一枚质地均匀的骰子,游戏规则如下:掷一次骰子,出现3的倍数,则往上爬两步台阶,否则爬一步台阶,再重复以上步骤,当队员到达第7或第8步台阶时,游戏结束.规定:到达第7步台阶,认定失败;到达第8步台阶可赢得一组吉祥物.假设平地记为第0步台阶.记队员到达第
步台阶的概率为
(
),记
.
(1)投掷4次后,队员站在的台阶数为第
阶,求
的分布列;
(2)①求证:数列
(
)是等比数列;
②求队员赢得吉祥物的概率.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/511cc417cb1bcacf47dbc46b584977e1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1551ac117f99c5eb9d64197e3f8e1218.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c80326a341316d1fa05177a1be603f25.png)
(1)投掷4次后,队员站在的台阶数为第
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
(2)①求证:数列
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8ad02093cdc49f042ad4baa8f2197f3d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b9d7457bc36b80660dc03b668674f065.png)
②求队员赢得吉祥物的概率.
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2024-01-19更新
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2057次组卷
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10卷引用:广东省中山市第一中学2024届高三第二次调研数学试题
广东省中山市第一中学2024届高三第二次调研数学试题河北省邢台市2024届高三上学期期末调研数学试题(已下线)考点16 几类特殊的数列模型 2024届高考数学考点总动员(已下线)专题19 离散型随机变量及其分布列11种常见考法归类(4)河北省沧州市泊头市第一中学等校2024届高三上学期模拟训练(九)(2月联考)数学试题山西省山西大学附属中学校2024届高三下学期第一次月考数学试题(已下线)第5讲:数列模型的应用【练】(已下线)第4讲:概率与数列的结合问题【讲】(已下线)模块八 概率与统计(测试)(已下线)题型27 5类概率统计大题综合解题技巧
名校
6 . 第二次世界大战期间,了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义.已知德军的每辆坦克上都有一个按生产顺序从1开始的连续编号.假设德军某月生产的坦克总数为N,随机缴获该月生产的n辆(
)坦克的编号为
,
,…,
,记
,即缴获坦克中的最大编号.现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N.
甲同学根据样本均值估计总体均值的思想,用
估计总体的均值,因此
,得
,故可用
作为N的估计.
乙同学对此提出异议,认为这种方法可能出现
的无意义结果.例如,当
,
时,若
,
,
,则
,此时
.
(1)当
,
时,求条件概率
;
(2)为了避免甲同学方法的缺点,乙同学提出直接用M作为N的估计值.当
,
时,求随机变量M的分布列和均值
;
(3)丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值,但直观上可以发现
与N存在明确的大小关系,因此乙同学的方法也存在缺陷.请判断
与N的大小关系,并给出证明.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/096b1ece1dcd29c59a46a4b3e02cb548.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/93d0f3799612b81e85b87241ec8eee68.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2dcf3400c1490071b390aaac0ad0e102.png)
甲同学根据样本均值估计总体均值的思想,用
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/afb1694f46c040a6c976b2ef3eb3934b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/120e4da3fe22be28b3bb28f28fbcc862.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/92da09d5877d3dfe1a856b6353b81906.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7b7171e0c9c26b9f39a32d3a61d113cf.png)
乙同学对此提出异议,认为这种方法可能出现
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b8a1bd336033c63bc9c4f99ff2b482b9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ebcc133d5b11b33a904875182d8c8261.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be604061cf1591f7069472269d4c9719.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/53722e8f43d44f9c611398ddaab151f3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/afac93e0089a7ffca9a1f720e13b6878.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/de3874d2e8c49308151837161d7aa91c.png)
(1)当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ebcc133d5b11b33a904875182d8c8261.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be604061cf1591f7069472269d4c9719.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1b9b7c101f267bbf233da7d3ac30e6f0.png)
(2)为了避免甲同学方法的缺点,乙同学提出直接用M作为N的估计值.当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/270e5f2895909d5b6b6c612a8696565b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fac3649308b528fd56545ba102dc42d5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/348388b2590255369527f86fd6be63c3.png)
(3)丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值,但直观上可以发现
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/348388b2590255369527f86fd6be63c3.png)
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2024-06-11更新
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693次组卷
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3卷引用:广东省华南师范大学附属中学2024届高三下学期模拟测试(一)数学试题
名校
7 . 甲口袋中装有2个黑球和1个白球,乙口袋中装有1个黑球和2个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,称为1次球交换的操作,重复
次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为
.
(1)求
的概率分布列并求
;
(2)求证:
(
且
)为等比数列,并求出
(
且
).
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(1)求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e5031a3a951c4a1d1c5e9f80a5e26513.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/576074947c20baa9388a82b20d3bd4f2.png)
(2)求证:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/51bdf721ba66b8518a5058a62fa687ff.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0704f453b2de48d36911f7db496bbf82.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e145b6046bc80d0ffecc61ac67c87ca1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/685a18e8694ab2c3243133d8a1988e68.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0704f453b2de48d36911f7db496bbf82.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/930bc56406e69b785b37a83d48e36724.png)
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2024-01-18更新
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2763次组卷
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4卷引用:广东省广州市华南师大附中2024届高三上学期第二次调研数学试题
广东省广州市华南师大附中2024届高三上学期第二次调研数学试题湖北省武汉市(武汉六中)部分重点中学2024届高三第二次联考数学试题(已下线)第七章:随机变量及其分布章末重点题型复习(7题型)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂(人教A版2019选择性必修第三册)(已下线)湖北省武汉市(武汉六中)部分重点中学2024届高三第二次联考数学试题变式题17-22
名校
8 . 树人中学高三(1)班某次数学质量检测(满分150分)的统计数据如下表:
在按比例分配分层随机抽样中,已知总体划分为2层,把第一层样本记为
,其平均数记为
,方差记为
;把第二层样本记为
,其平均数记为
,方差记为
;把总样本数据的平均数记为
,方差记为
.
(1)证明:
;
(2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差(精确到1);
(3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布
,以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为
和
的估计值.如果按照
的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为
四个等级,试确定各等级的分数线(精确到1).
附:
.
性别 | 参加考试人数 | 平均成绩 | 标准差 |
男 | 30 | 100 | 16 |
女 | 20 | 90 | 19 |
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dfbc29b47b83fdc5368770b7b1acb439.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f5b3107354f055c708208a37ab66b30f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/eb525270c748eddaaecc4a549cca250e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ab1295cbd36fdc55a55b549aa2dd5887.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d41042207515dd2e8349c805e6aee400.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/671f43c79d612c93a6d160335e86e177.png)
(1)证明:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/217223e16eb491561c4ca844c0b52f81.png)
(2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差(精确到1);
(3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/29bcc248a7770a16fa10fc4602d71e0e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1100379a4385b9ce064847bc21760adc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1c0ad7e7853a069537387b5192f73844.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4cb65fd949bae6f2d638b4b7a67aaa75.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0c82a10b4f0c9323d726804c89dd9548.png)
附:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e53bcf5dca65c16335bc356bcd5a36ef.png)
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2024-04-26更新
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2038次组卷
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5卷引用:广东省广州市广东实验中学2023-2024学年高三下学期教学情况测试(二)数学试卷A
解题方法
9 . 某单位进行招聘面试,已知参加面试的
名学生全都来自A,B,C三所学校,其中来自A校的学生人数为
.该单位要求所有面试人员面试前到场,并随机给每人安排一个面试号码
,按面试号码
由小到大依次进行面试,每人面试时长5分钟,面试完成后自行离场.
(1)求面试号码为2的学生来自A校的概率.
(2)若
,
,且B,C两所学校参加面试的学生人数比为
,求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试(A校所有参加面试的学生完成面试后,B,C两校都还有学生未完成面试)的概率.
(3)记随机变量X表示最后一名A校学生完成面试所用的时长(从第1名学生开始面试到最后一名A校学生完成面试所用的时间),
是
的数学期望,证明:
.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2f5e5ba3a62f61ff22319d3decfdc48b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/02e64e35ea62ac9f14b182bfa7a0feb7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f0a532e15e232cb4b99a8d4d07c89575.png)
(1)求面试号码为2的学生来自A校的概率.
(2)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9530ecacf206488d21b2bb849e3e92a8.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fe08722cf9300fe188dbbb71989c06c9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/37d65e051e943ab28fa57aee2fb57994.png)
(3)记随机变量X表示最后一名A校学生完成面试所用的时长(从第1名学生开始面试到最后一名A校学生完成面试所用的时间),
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9fc79c66ebaacd709ec9965b90a22b14.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
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2024-03-29更新
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2612次组卷
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2卷引用:广东省2024届普通高等学校招生全国统一考试模拟测试(一)数学试卷
名校
10 . 甲进行摸球跳格游戏.图上标有第1格,第2格,…,第25格,棋子开始在第1格.盒中有5个大小相同的小球,其中3个红球,2个白球(5个球除颜色外其他都相同).每次甲在盒中随机摸出两球,记下颜色后放回盒中,若两球颜色相同,棋子向前跳1格;若两球颜色不同,棋子向前跳2格,直到棋子跳到第24格或第25格时,游戏结束.记棋子跳到第n格的概率为
.
(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X,求X的分布列和期望;
(2)证明:数列
为等比数列.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b2075e6b963a5afc01d551162edc9fde.png)
(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X,求X的分布列和期望;
(2)证明:数列
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e852f5763efd693ecfb2db29c04cb2c8.png)
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2024-03-03更新
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1839次组卷
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2卷引用:2024届广东省湛江市高三一模数学试题