1 . 已知
．
(1)当
时，若
的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，求展开式中
的系数；
(2)设
．
①求
的系数（用
表示）：
②求
（用表示）．
．(1)当
时，若的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，求展开式中的系数；(2)设
．①求
的系数（用表示）：②求
（用表示）．
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解题方法
2 . 为减低废气排放量，某工厂生产一种减排器，每件减排器的质量是一等品的概率为
，二等品的概率为
，若达不到一､二等品，则为不合格品.
(1)若工厂已生产3件减排器，设
为其中二等品的件数，求的分布列和数学期望；
(2)已知一件减排器的利润如下表：
①求2件减排器的利润不少于1万元的概率；
②若工厂要增加产量，需引入设备和更新技术，但增加件，成本相应增加
万元，假设你是工厂的决策者，你觉得目前应不应该增加产量？如果要增加产量，增加多少件最好，如果不要增加产量，请说明理由.（参考数据：
）
，二等品的概率为，若达不到一､二等品，则为不合格品.(1)若工厂已生产3件减排器，设
为其中二等品的件数，求的分布列和数学期望；(2)已知一件减排器的利润如下表：
| 等级 | 一等品 | 二等品 | 不合格品 |
| 利润（万元/件） | 1 | 0.5 |  |
②若工厂要增加产量，需引入设备和更新技术，但增加
件，成本相应增加万元，假设你是工厂的决策者，你觉得目前应不应该增加产量？如果要增加产量，增加多少件最好，如果不要增加产量，请说明理由.（参考数据：）
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2024高二下·全国·专题练习
解题方法
3 . 设M，N为随机事件，且
，则下列说法正确的是（ ）
，则下列说法正确的是（ ）A．若 ，则 ； |
| B．若，则M，N可能不相互独立； |
C．若 ，则 ； |
D．若 ，则 ． |
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解题方法
4 . 在某抽奖活动中，初始时的袋子中有3个除颜色外其余都相同的小球，颜色为2白1红．每次随机抽取一个小球后放回．抽奖规则如下：设定抽中红球为中奖，抽中白球为未中奖；若抽到白球，放回后把袋中的一个白色小球替换为红色；若抽到红球，放回后把三个球的颜色重新变为2白1红的初始状态．记第n次抽奖中奖的概率为
．
(1)求
，
；
(2)若存在实数a，b，c，对任意的不小于4的正整数n，都有
，试确定a，b，c的值，并证明上述递推公式；
(3)若累计中奖4次及以上可以获得一枚优胜者勋章，则从初始状态下连抽9次获得至少一枚勋章的概率为多少？
．(1)求
，；(2)若存在实数a，b，c，对任意的不小于4的正整数n，都有
，试确定a，b，c的值，并证明上述递推公式；(3)若累计中奖4次及以上可以获得一枚优胜者勋章，则从初始状态下连抽9次获得至少一枚勋章的概率为多少？
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5 . 2024年元宵节，张同学与陈同学计划去连江人民广场参加猜灯谜活动.张同学家在如图所示的E处，陈同学家在如图所示的F处，人民广场在如图所示的 G 处.下列说法正确的是（ ）
| A．张同学到陈同学家的最短路径条数为6条 |
B．在张同学去人民广场选择的最短路径中，到F处和陈同学汇合并一同前往的概率为  |
| C．张同学在去人民广场途中想先经过花海欣赏灯光秀（花海四周道路均可欣赏），可选的最短路径有22条 |
D．张同学和陈同学在选择去人民广场的最短路径中，两人相约到人民广场汇合，事件A：张同学经过陈同学家；事件B：从F到人民广场两人的路径没有重叠部分 （路口除外），则.  |
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解题方法
6 . 某自然保护区经过几十年的发展，某种濒临灭绝动物数量有大幅度的增加.已知这种动物
拥有两个亚种（分别记为
种和
种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小组计划在该区域中捕捉100个动物，统计其中种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次，记第
次试验中种的数目为随机变量
.设该区域中种的数目为
，种的数目为
（，均大于100），每一次试验均相互独立.
(1)求
的分布列；
(2)记随机变量
.已知
，
（i）证明：
，
；
（ii）该小组完成所有试验后，得到
的实际取值分别为
.数据的平均值
，方差
.采用
和
分别代替
和
，给出，的估计值.
（已知随机变量
服从超几何分布记为：
（其中为总数，
为某类元素的个数，为抽取的个数），则
）
拥有两个亚种（分别记为种和种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小组计划在该区域中捕捉100个动物，统计其中种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次，记第次试验中种的数目为随机变量.设该区域中种的数目为，种的数目为（，均大于100），每一次试验均相互独立.(1)求
的分布列；(2)记随机变量
.已知，（i）证明：
，；（ii）该小组完成所有试验后，得到
的实际取值分别为.数据的平均值，方差.采用和分别代替和，给出，的估计值.（已知随机变量
服从超几何分布记为：（其中为总数，为某类元素的个数，为抽取的个数），则）
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2024·全国·模拟预测
7 . 甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分．经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（ ）
A． | B． | C． | D． |
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解题方法
8 . 若集合
，
满足都是的子集，且
，
，
均只有一个元素，且
，称
为的一个“有序子集列”，若有5个元素，则有多少个“有序子集列”________ .
，满足都是的子集，且，，均只有一个元素，且，称为的一个“有序子集列”，若有5个元素，则有多少个“有序子集列”
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解题方法
9 . 某商城进行促销活动，购买某产品的顾客可以参加一次游戏：在一个不透明箱子中放入红、蓝、黄三种颜色的小球各1个，顾客从中有放回地取出小球，直到取出的小球集齐了三种颜色则停止取球．设顾客停止取球时，取过的小球次数为，
(1)求
；
(2)设
，数列
，求
的通项公式；
(3)顾客停止取球时，取过的小球次数为，顾客可以获得对应的
元奖金，其中
，求证：
．
，(1)求
；(2)设
，数列，求的通项公式；(3)顾客停止取球时，取过的小球次数为
，顾客可以获得对应的元奖金，其中，求证：．
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10 . 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球.设从甲、乙两个口袋中各任取一个球交换放入另一个口袋为一次操作，经过次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为
.
(1)写出的分布列并计算
；
(2)某人重复进行了100次操作，记
，
，求该数列
的前100项和
的最大值；
(3)定性分析当交换次数趋向于无穷时，
趋向的值.
次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为.(1)写出
的分布列并计算；(2)某人重复进行了100次操作，记
，，求该数列的前100项和的最大值；(3)定性分析当交换次数趋向于无穷时，
趋向的值.
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