名校
1 . 某企业准备把一种新型零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过试生产,质检人员抽样发现:甲工厂试生产的一批零件的合格率为90%,乙工厂试生产的另一批零件的合格率为96%;若将这两批零件混合放在一起,则合格率为94%.
(1)从混合放在一起的零件中随机抽取3个.用频率估计概率,记这3个零件中来自甲工厂的个数为X,求随机变量X的分布和期望;
(2)为了争取获得该零件的生产订单,甲工厂提高了生产该零件的质量指标.已知在甲工厂提高质量指标的条件下,该企业把零件交给甲工厂生产的概率,大于在甲工厂不提高质量指标的条件下,该企业把零件交给甲工厂生产的概率.用事件A表示“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”,事件B表示“该企业把零件交给甲工厂生产”.已知,求证:.
(1)从混合放在一起的零件中随机抽取3个.用频率估计概率,记这3个零件中来自甲工厂的个数为X,求随机变量X的分布和期望;
(2)为了争取获得该零件的生产订单,甲工厂提高了生产该零件的质量指标.已知在甲工厂提高质量指标的条件下,该企业把零件交给甲工厂生产的概率,大于在甲工厂不提高质量指标的条件下,该企业把零件交给甲工厂生产的概率.用事件A表示“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”,事件B表示“该企业把零件交给甲工厂生产”.已知,求证:.
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2 . 对于数列,称为数列的一阶差分数列,其中.对正整数,称为数列的阶差分数列,其中已知数列的首项,且为的二阶差分数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)设为数列的一阶差分数列,对,是否都有成立?并说明理由;(其中为组合数)
(3)对于(2)中的数列,令,其中.证明:.
(1)求数列的通项公式;
(2)设为数列的一阶差分数列,对,是否都有成立?并说明理由;(其中为组合数)
(3)对于(2)中的数列,令,其中.证明:.
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3 . 复平面是人类漫漫数学历史中的一副佳作,他以虚无缥缈的数字展示了人类数学最纯粹的浪漫.欧拉公式可以说是这座数学王座上最璀璨的明珠,相关的内容是,欧拉公式:,其中表示虚数单位,是自然对数的底数.数学家泰勒对此也提出了相关公式:其中的感叹号!表示阶乘,试回答下列问题:
(1)试证明欧拉公式.
(2)利用欧拉公式,求出以下方程的所有复数解.
①;②;
(3)求出角度的倍角公式(用表示,).
(1)试证明欧拉公式.
(2)利用欧拉公式,求出以下方程的所有复数解.
①;②;
(3)求出角度的倍角公式(用表示,).
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4 . 某农户购入一批种子,已知每粒种子发芽的概率均为0.9,总共种下n粒种子,其中发芽种子的数量为X.
(1)要使的值最大,求n的值;
(2)已知切比雪夫不等式:设随机变量X的期望为,方差为,则对任意均有,切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布末知的情况下,对事件的概率作出估计.
①当随机变量X为离散型随机变量,证明切比雪夫不等式(可以直接证明,也可以用下面的马尔科夫不等式来证明切比雪夫不等式);
②为了至少有的把握使种子的发芽率落在区间,请利用切比雪夫不等式估计农户种下种子数的最小值.
注:马尔科夫不等式为:设X为一个非负随机变量,其数学期望为,则对任意,均有.
(1)要使的值最大,求n的值;
(2)已知切比雪夫不等式:设随机变量X的期望为,方差为,则对任意均有,切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布末知的情况下,对事件的概率作出估计.
①当随机变量X为离散型随机变量,证明切比雪夫不等式(可以直接证明,也可以用下面的马尔科夫不等式来证明切比雪夫不等式);
②为了至少有的把握使种子的发芽率落在区间,请利用切比雪夫不等式估计农户种下种子数的最小值.
注:马尔科夫不等式为:设X为一个非负随机变量,其数学期望为,则对任意,均有.
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5 . “布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动,在如图所示的试验容器中,容器由三个仓组成,某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓,且粒子经过次随机选择后到达2号仓的概率为,已知该粒子的初始位置在2号仓.(1)证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;
(2)粒子经过4次随机选择后,记粒子在1号仓出现的次数为,求的分布列与数学期望.
(2)粒子经过4次随机选择后,记粒子在1号仓出现的次数为,求的分布列与数学期望.
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解题方法
6 . 若一个两位正整数的个位数为6,则称为“幸运数”.
(1)对任意“幸运数”,证明:能被6整除;
(2)已知集合.
①若,证明:;
②若“幸运数”,则称数对为“亲密数对”,规定:,求小于50的“幸运数”中,所有“亲密数对”的的所有值.
(1)对任意“幸运数”,证明:能被6整除;
(2)已知集合.
①若,证明:;
②若“幸运数”,则称数对为“亲密数对”,规定:,求小于50的“幸运数”中,所有“亲密数对”的的所有值.
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解题方法
7 . 甲乙两人进行乒乓球比赛,现采用三局两胜的比赛制度,规定每一局比赛都没有平局(必须分出胜负),且每一局甲赢的概率都是,随机变量表示最终的比赛局数.
(1)求随机变量的分布列和期望;
(2)若,设随机变量的方差为,求证:.
(1)求随机变量的分布列和期望;
(2)若,设随机变量的方差为,求证:.
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8 . 某企业生产一种零部件,其质量指标介于的为优品.技术改造前,该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布;技术改造后,该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布.
附:若,取,.
(1)求该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差;
(2)若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是,各个元件能否正常工作相互独立,如果系统中有超过一半的元件正常工作,系统就能正常工作. 系统正常工作的概率称为系统的可靠性.
①若控制系统原有个元件,计算该系统的可靠性,并判断若给该系统增加一个元件,可靠性是否提高?
②假设该系统配置有个元件,若再增加一个元件,是否一定会提高系统的可靠性?请给出你的结论并证明.
附:若,取,.
(1)求该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差;
(2)若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是,各个元件能否正常工作相互独立,如果系统中有超过一半的元件正常工作,系统就能正常工作. 系统正常工作的概率称为系统的可靠性.
①若控制系统原有个元件,计算该系统的可靠性,并判断若给该系统增加一个元件,可靠性是否提高?
②假设该系统配置有个元件,若再增加一个元件,是否一定会提高系统的可靠性?请给出你的结论并证明.
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9 . 某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过调研和试生产,质检人员抽样发现:甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%;乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%;若将这两批零件混合放在一起,则合格品率为97%.
(1)从混合放在一起的零件中随机抽取3个,用频率估计概率,记这3个零件中来自甲工厂的个数为X,求X的分布列和数学期望;
(2)为了争取获得该零件的生产订单,甲工厂提高了生产该零件的质量指标.已知在甲工厂提高质量指标的条件下,该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率,大于在甲工厂不提高质量指标的条件下,该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率.设事件“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”,事件“该大型企业把零件交给甲工厂生产”、已知,证明: .
(1)从混合放在一起的零件中随机抽取3个,用频率估计概率,记这3个零件中来自甲工厂的个数为X,求X的分布列和数学期望;
(2)为了争取获得该零件的生产订单,甲工厂提高了生产该零件的质量指标.已知在甲工厂提高质量指标的条件下,该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率,大于在甲工厂不提高质量指标的条件下,该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率.设事件“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”,事件“该大型企业把零件交给甲工厂生产”、已知,证明: .
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