名校
解题方法
1 . 进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事．为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q（
），且在考试中每人各题答题结果互不影响已知每题甲，乙同时答对的概率为
，恰有一人答对的概率为
．
(1)求p和q的值；
(2)试求两人共答对至少3道题的概率．
），且在考试中每人各题答题结果互不影响已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为．(1)求p和q的值；
(2)试求两人共答对至少3道题的概率．
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2023-07-24更新
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557次组卷
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32卷引用：山东省聊城市2020-2021学年高二上学期期末数学试题
山东省聊城市2020-2021学年高二上学期期末数学试题（已下线）4.1.3独立性与条件概率的关系B提高练（已下线）专题10.4第十章《概率》综合测试卷（B卷提升篇）-2020-2021学年高一数学必修第二册同步单元AB卷（新教材人教A版，浙江专用）（已下线）专题08 统计案例与概率-2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习（北师大版2019选择性必修第一册、第二册）云南省文山壮族苗族自治州第一中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题广东省惠州市2020-2021学年高一下学期期末数学试题吉林省长春市十一高中2020-2021学年高一下学期第三学程考试数学试题安徽省六安市舒城县2020-2021学年高一下学期期末数学试题人教B版(2019) 选修第二册 突围者 第四章 第一节课时3 独立性与条件概率的关系（已下线）第四章 概率与统计 4.1 条件概率与事件的独立性 4.1.3 独立性与条件概率的关系北师大版(2019) 必修第一册 突围者 第七章 第四节 事件的独立性湖北省黄冈市黄州中学2021-2022学年高二上学期新起点开学考试数学试题陕西省汉中市2021届高三上学期第五次校际联考文科数学试题陕西省汉中市2021届高三上学期第五次校际联考理科数学试题湖北省武汉外国语学校2020-2021学年高一下学期期末数学试题（已下线）第十章 概率单元自测卷（一）河南省顶级名校2021-2022学年高一下学期6月月考数学试题江苏省常州市新桥高级中学等八校2021-2022学年高一下学期期末联考数学试题江苏省苏州市昆山中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题江苏省扬州市仪征中学2022-2023学年新高二暑期调研测试数学试题河南省中牟县第三高级中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题沪教版(2020) 必修第三册 经典导学 课后作业 第12章 12.4 第2课时 事件的独立性湖南省邵阳市第二中学2022-2023学年高二上学期入学考试数学试题辽宁省东北育才学校2022-2023学年高一上学期10月月考数学试题 福建省晋江市季延中学2021-2022学年高一线上线下教学衔接诊断性测试数学试题（已下线）专题强化 事件、古典概率各类问题一遍过-《考点·题型·技巧》（已下线）期末考试仿真模拟试卷03-（苏教版2019必修第二册）（已下线）期末考试仿真模拟试卷05-（苏教版2019必修第二册）（已下线）模块三 专题5 概率与统计--拔高能力练（人教B版）5.4随机事件的独立性福建省莆田第一中学2023-2024学年高二上学期开学考数学试题广东省佛山市南海区狮山石门高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题
名校
2 . 购买盲盒，是当下年轻人的潮流之一.每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里面随机装有一个动漫､影视作品的图片，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性.某礼品店2021年1月到8月出售的盲盒数量及利润情况的相关数据如下表所示：
(1)求出月利润
（万元）关于月销售量
（千个）的回归方程（精确到0.01）；
(2)2022年冬奥会临近，该店售卖装有奥运吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”玩偶的两款盲盒，小明同学购买了4个装有“冰墩墩”玩偶的盲盒，4个装有“雪容融”玩偶的盲盒，从中随机选出3个作为元旦礼物赠送给同学.用
表示3个中装有“冰墩墩”玩偶的盲盒个数，求的分布列和数学期望.
参考数据：
，
，附：线性回归方程
中，
，
.
| 月份 | 1月 | 2月 | 3月 | 4月 | 5月 | 6月 | 7月 | 8月 |
| 月销售量/千个 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 9 | 10 | 12 |
| 月利润/万元 | 3.6 | 4.1 | 4.4 | 5.2 | 6.2 | 7.5 | 7.9 | 9.1 |
（万元）关于月销售量（千个）的回归方程（精确到0.01）；(2)2022年冬奥会临近，该店售卖装有奥运吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”玩偶的两款盲盒，小明同学购买了4个装有“冰墩墩”玩偶的盲盒，4个装有“雪容融”玩偶的盲盒，从中随机选出3个作为元旦礼物赠送给同学.用
表示3个中装有“冰墩墩”玩偶的盲盒个数，求的分布列和数学期望.参考数据：
，，附：线性回归方程中，，.
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2022-01-03更新
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734次组卷
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3卷引用：山东省学情2021-2022学年高三上学期12月质量检测（联考）数学试题
山东省学情2021-2022学年高三上学期12月质量检测（联考）数学试题（已下线）专题15 概率统计及其应用（讲）--第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考数学二轮复习讲练测（新高考·全国卷）》浙江省杭州第二中学2022-2023学年高三上学期9月月考数学试题
名校
解题方法
3 . 某婴幼儿游泳馆为了吸引顾客，推出优惠活动，即对首次消费的顾客按80元收费，并注册成为会员，对会员消费的不同次数给予相应的优惠，标准如下：
该游泳馆从注册的会员中，随机抽取了100位会员并统计他们的消费次数，得到数据如下：
假设每位顾客游泳1次，游泳馆的成本为30元.根据所给数据，回答下列问题：
(1)估计该游泳馆1位会员至少消费2次的概率：
(2)某会员消费4次，求这4次消费中，游泳馆获得的平均利润；
(3)假设每个会员最多消费4次，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，从该游泳馆的所有会员中随机抽取2位，记游泳馆从这2位会员的消费中获得的平均利润之差的绝对值为X，求X的分布列和均值
.
| 消费次数 | 第1次 | 第2次 | 第3次 | 不少于4次 |
| 收费比例 | 1 | 0.95 | 0.90 | 0.85 |
| 消费次数 | 1次 | 2次 | 3次 | 不少于4次 |
| 频数 | 60 | 25 | 10 | 5 |
(1)估计该游泳馆1位会员至少消费2次的概率：
(2)某会员消费4次，求这4次消费中，游泳馆获得的平均利润；
(3)假设每个会员最多消费4次，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，从该游泳馆的所有会员中随机抽取2位，记游泳馆从这2位会员的消费中获得的平均利润之差的绝对值为X，求X的分布列和均值
.
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2022-01-03更新
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756次组卷
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2卷引用：山东省实验中学2021-2022学年高三上学期第三次诊断数学试题
解题方法
4 . 2022年第24届冬季奥林匹克运动会，简称“北京张家口冬奥会”，将在2022年02月04日~2022年02月20日在北京市和张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京将承办所有冰上项目，延庆和张家口将承办所有的雪上项目.下表是截取了2月5日和2月6日两天的赛程表：
2022年北京冬奥会赛程表（第七版，发布自2020年11月）
说明：“*”代表当日有不是决赛的比赛；数字代表当日有相应数量的决赛.
(1)（i）若在这两天每天随机观看一个比赛项目，求恰好看到冰球和跳台滑雪的概率；
（ii）若在这两天每天随机观看一场决赛，求两场决赛不在同一赛区的概率；
(2)若在2月6日（星期日）的所有决赛中观看三场，记为赛区的个数，求的分布列及期望.
2022年北京冬奥会赛程表（第七版，发布自2020年11月）
| 2022年2月 | 北京赛区 | 延庆赛区 | 张家口赛区 | ||||||||||||||
| 开闭幕式 | 冰壶 | 冰球 | 速度滑冰 | 短道速滑 | 花样滑冰 | 高山滑雪 | 有舵雪橇 | 钢架雪车 | 无舵雪橇 | 跳台滑雪 | 北欧两项 | 越野滑雪 | 单板滑雪 | 冬季两项 | 自由式滑雪 | 当日决赛数 | |
| 5日 | * | * | 1 | 1 | * | 1 | 1 | * | 1 | 1 | 6 | ||||||
| 6日 | * | * | 1 | * | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 7 | ||||||
(1)（i）若在这两天每天随机观看一个比赛项目，求恰好看到冰球和跳台滑雪的概率；
（ii）若在这两天每天随机观看一场决赛，求两场决赛不在同一赛区的概率；
(2)若在2月6日（星期日）的所有决赛中观看三场，记
为赛区的个数，求的分布列及期望.
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2021-12-15更新
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735次组卷
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2卷引用：山东省潍坊市2021-2022学年高三上学期12月优秀生抽测数学试题
名校
解题方法
5 . “如果你想毁掉你的孩子，请给他一部手机”.多数学生，特别是低年龄段的学生抵抗诱惑的能力是很差的，如果给他一部手机的话，或许他就会玩游戏根本停不下来.某学校以手机的危害性为内容制作了一份知识问卷，并邀请40名同学（男女各一半）参与问卷的答题比赛，将同学随机分成20组，每组男女同学各一名，每名同学均回答同样的五个问题，答对一题得一分，答错或不答得零分，总分5分，最后20组同学得分如下表：
（1）根据以上数据建立一个
列联表；
（2）是否有90%的把握认为“此次比赛满分”与“性别”有关？
（参考公式：
，
）
| 组别数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
| 男同学得分 | 4 | 5 | 5 | 4 | 5 | 5 | 4 | 4 | 5 | 5 | |||
| 女同学得分 | 3 | 4 | 5 | 5 | 5 | 4 | 5 | 5 | 5 | 3 | |||
| 组别数 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | |||
| 男同学得分 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | 4 | 3 | |||
| 女同学得分 | 5 | 5 | 4 | 5 | 4 | 3 | 5 | 3 | 4 | 5 | |||
列联表；（2）是否有90%的把握认为“此次比赛满分”与“性别”有关？
 | 0.10 | 0.050 | 0.010 |
 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
，）
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解题方法
6 . 某汽车公司的
型号汽车近期销量锐减，该公司为了了解销量锐减的原因，就是否支持购买型号汽车进行了市场调查，在所调查的
个对象中，年龄在
的群体有
人，支持率为
，年龄在
和
的群体中，支持率均为
;年龄在
和
的群体中，支持率分别为
和
，若在调查的对象中，除的群体外，其余各年龄层的人数分布情况如频率分布直方图所示.其中最后三组的频数构成公差为
的等差数列.
（1）求年龄在群体的人数;
（2）请完成列联表，并根据表中的数据，判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为年龄与支持率有关?
附表：
(参考公式:，其中; 参考数据:
型号汽车近期销量锐减，该公司为了了解销量锐减的原因，就是否支持购买型号汽车进行了市场调查，在所调查的个对象中，年龄在的群体有人，支持率为，年龄在和的群体中，支持率均为;年龄在和的群体中，支持率分别为和，若在调查的对象中，除的群体外，其余各年龄层的人数分布情况如频率分布直方图所示.其中最后三组的频数构成公差为的等差数列.（1）求年龄在
群体的人数;（2）请完成
列联表，并根据表中的数据，判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为年龄与支持率有关?附表：
|  |  |  |  |  |  |  |
|  |  |  |  |  |  |  |
，其中; 参考数据:
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2021-10-10更新
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291次组卷
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3卷引用：山东省潍坊市2021-2022学年高三上学期10月阶段性检测数学试题
山东省潍坊市2021-2022学年高三上学期10月阶段性检测数学试题山东省潍坊市五县市2022届高三上学期第一次联考数学试题（已下线）专题17 概率统计（解答题）-备战2022年高考数学（文）母题题源解密（全国甲卷）
2021·江苏·二模
名校
解题方法
7 . 某公司对项目A进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：
（1）请用线性回归模型拟合y与x的关系，并用相关系数加以说明；
（2）该公司计划用7百万元对A、B两个项目进行投资．若公司对项目B投资
百万元所获得的利润y近似满足：
，求A、B两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大？
附．①对于一组数据
、
、……、
，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
．
②线性相关系数
．一般地，相关系数r的绝对值在0.95以上（含0.95）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．
参考数据：对项目A投资的统计数据表中
．
项目A投资金额x（单位：百万元） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
所获利润y（单位：百万元） | 0.3 | 0.3 | 0.5 | 0.9 | 1 |
（2）该公司计划用7百万元对A、B两个项目进行投资．若公司对项目B投资
百万元所获得的利润y近似满足：，求A、B两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大？附．①对于一组数据
、、……、，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：．②线性相关系数
．一般地，相关系数r的绝对值在0.95以上（含0.95）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．参考数据：对项目A投资的统计数据表中
．
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2021-09-07更新
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1030次组卷
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17卷引用：预测卷05-2021年高考数学金榜预测卷（山东、海南专用）
（已下线）预测卷05-2021年高考数学金榜预测卷（山东、海南专用）江苏省南京市、盐城市2021届高三下学期3月第二次模拟考试数学试题（已下线）文科数学-2021年高考考前20天终极冲刺攻略+（三）（6月2日）山西省怀仁市第一中学2020-2021学年高二下学期期中数学（文）试题（已下线）押第18题 概率与统计-备战2021年高考数学（理）临考题号押题（全国卷2）安徽省六安市第一中学2020-2021学年高二下学期第二次阶段检测文科数学试题（已下线）专题2.5 概率与统计-回归分析、独立性检验-2021年高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）江苏省常州市北郊高级中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题安徽省合肥市长丰县正心高级中学2019-2020学年高二下学期6月月考文科数学试题（已下线）热点10 概率与统计-2022年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）（已下线）热点09 成对数据的统计分析-2022年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）江苏省南通市石庄高级中学2021-2022学年高二下学期3月第一次调研数学试题（已下线）押全国卷（文科）第18题 概率与统计-备战2022年高考数学（文）临考题号押题（全国卷）广东省中山市迪茵公学2021-2022学年高二下学期第二次月考数学试题2023届甘肃省高考数学模拟试卷（三）2023届甘肃省高考理科数学模拟试卷（三）江苏省苏州市黄埭中学 2024届高三上学期12月阶段性练习数学试题
解题方法
8 . 现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素．某企业去年前八个月的物流成本和企业利润的数据（单位：万元）如下表所示：
根据最小二乘法公式求得线性回归方程为
．
（1）求
的值，并利用已知的线性回归方程求出
月份对应的残差值
；
（2）请先求出线性回归模型的决定系数
（精确到
）；若根据非线性模型
求得解释变量（物流成本）对于响应变量（利润）决定系数
，请说明以上两种模型哪种模型拟合效果更好？
（3）通过残差分析，怀疑残差绝对值最大的那组数据有误，经再次核实后发现其真正利润应该为
万元．请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出新的线性回归方程．
附1（修正前的参考数据）：
，
，
，
．
附2：
．
附3：
，
．
月份 |
|
|
|
|
|
|
|
|
物流成本 |
|
|
|
|
|
|
|
|
利润 |
|
|
|
|
|
|
|
|
残差 |
|
|
|
|
|
|
|
．（1）求
的值，并利用已知的线性回归方程求出月份对应的残差值；（2）请先求出线性回归模型
的决定系数（精确到）；若根据非线性模型求得解释变量（物流成本）对于响应变量（利润）决定系数，请说明以上两种模型哪种模型拟合效果更好？（3）通过残差分析，怀疑残差绝对值最大的那组数据有误，经再次核实后发现其真正利润应该为
万元．请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出新的线性回归方程．附1（修正前的参考数据）：
，，，．附2：
．附3：
，．
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9 . 随着我国市场经济体制的逐步完善，顾客购买心理不断成熟，影响顾客购买的因素越来越多，创建-一个规范有序的市场环境，提高消费者满意度，有助于当地经济的发展.2020年，淄博市市场监督管理部门共受理消费者投诉、举报43548件，为消费者挽回经济损失9300.19万元，连续两年进入全国城市消费者满意度测评前100名淄博市某调查机构对2020年的每个月的满意度进行了实际调查，随机选取了几个月的满意度数据如表：
参考数据：
，
．
，
，
．
（1）从这8个月的数据中任意选3个月的数据，以表示3个月中满意度不小于35%的个数，求
的分布列和数学期望；
（2）根据散点图发现6月份数据偏差较大，如果去掉该月的数据，试用剩下的数据求出满意度（%）关于月份的线性回归方程（精确到0.01）
附：线性回归方程．
| 月份 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 满意度（%） | 25.2 | 33 | 42 | 39 | 36 | 58.8 | 72 | 78 |
，．，，．（1）从这8个月的数据中任意选3个月的数据，以表示3个月中满意度不小于35%的个数，求
的分布列和数学期望；（2）根据散点图发现6月份数据偏差较大，如果去掉该月的数据，试用剩下的数据求出满意度
（%）关于月份的线性回归方程（精确到0.01）附：线性回归方程．
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名校
解题方法
10 . 为实施乡村振兴，科技兴农，某村建起了田园综合体，并从省城请来专家进行技术指导．根据统计，该田园综合体西红柿亩产量的增加量（千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克）之间的对应数据如下.
（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数
并加以说明（若
，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
（2）求关于的回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为15千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少千克?
附：相关系数公式
，参考数据：
．
回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，．
（千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克）之间的对应数据如下.| （千克） | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
| （千克） | 300 | 400 | 400 | 400 | 500 |
与的关系，请计算相关系数并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）求
关于的回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为15千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少千克?附：相关系数公式
，参考数据：．回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
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2021-08-09更新
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1091次组卷
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6卷引用：山东省潍坊市2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题
山东省潍坊市2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题（已下线）4.3.1一元线性回归模型-2021-2022学年高二数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第二册)江苏省江都中学 2021-2022 学年高二下学期阶段数学试题辽宁省沈阳市东北育才双语学校2021-2022学年高二下学期期中数学试题四川省成都市玉林中学2023届高三适应性考试（文科）数学试题四川省射洪中学校2022-2023学年高二上学期1月月考数学（文）试题
