1 . (1)求证:;
(2)求证:.
(2)求证:.
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2 . 某工厂生产某种产品,为了控制质量,质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验.现有(且)份产品,有以下两种检验方式:(1)逐份检验,则需要检验次;(2)混合检验,将这份产品混合在一起作为一组来检验.若检测通过,则这份产品全部为正品,因而这份产品只要检验一次就够了;若检测不通过,为了明确这份产品究竟哪几份是次品,就要对这份产品逐份检验,此时这份产品的检验次数总共为次.假设在接受检验的样本中,每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的,且每份样本是次品的概率为.
(1)如果,采用逐份检验方式进行检验,求检测结果恰有两份次品的概率;
(2)现对份产品进行检验,运用统计概率相关知识回答:当和满足什么关系时,用混合检验方式进行检验可以减少检验次数?
(3)①当(且)时,将这份产品均分为两组,每组采用混合检验方式进行检验,求检验总次数的数学期望;
②当(,且,)时,将这份产品均分为组,每组采用混合检验方式进行检验,写出检验总次数的数学期望(不需证明).
(1)如果,采用逐份检验方式进行检验,求检测结果恰有两份次品的概率;
(2)现对份产品进行检验,运用统计概率相关知识回答:当和满足什么关系时,用混合检验方式进行检验可以减少检验次数?
(3)①当(且)时,将这份产品均分为两组,每组采用混合检验方式进行检验,求检验总次数的数学期望;
②当(,且,)时,将这份产品均分为组,每组采用混合检验方式进行检验,写出检验总次数的数学期望(不需证明).
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名校
解题方法
3 . 有人玩掷均匀硬币走跳棋的游戏,棋盘上标有第0站(出发地),第1站,第2站,……,第100站. 一枚棋子开始在出发地,棋手每掷一次硬币,这枚棋子向前跳动一次,若掷出正向,棋子向前跳一站,若掷出反面,棋子向前跳两站,直到棋子跳到第99站(获胜)或跳到第100站(失败)时,该游戏结束. 设棋子跳到第站的概率为.
(1)求,,,并根据棋子跳到第站的情况写出与、的递推关系式();
(2)求证:数列为等比数列;
(3)求玩该游戏获胜的概率.
(1)求,,,并根据棋子跳到第站的情况写出与、的递推关系式();
(2)求证:数列为等比数列;
(3)求玩该游戏获胜的概率.
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4 . 证明必然事件和不可能事件与任意事件相互独立.
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2020-02-01更新
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489次组卷
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3卷引用:人教A版(2019) 必修第二册 逆袭之路 第十章 10.2 事件的相互独立性
名校
解题方法
5 . 探索浩瀚宇宙是全人类的共同梦想,我国广大科技工作者、航天工作者为推动世界航天事业发展付出了艰辛的努力,为人类和平利用太空、推动构建人类命运共同体贡献了中国智慧、中国方案、中国力量.
(1)某公司试生产一种航空零件,在生产过程中,当每小时次品数超过件时,产品的次品率会大幅度增加,为检测公司的试生产能力,同时尽可能控制不合格品总量,抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情况检查分析,已知在(单位:百件)件产品中,得到次品数量(单位:件)的情况汇总如下表所示,且(单位:件)与(单位:百件)线性相关:
根据公司规定,在一小时内不允许次品数超过件,请通过计算分析,按照公司的现有生产技术设备情况,判断可否安排一小时试生产件的任务?
(2)“战神”太空空间站工作人员需走出太空站外完成某项试验任务,每次只派一个人出去,且每个人只派出一次,工作时间不超过分钟,如果有人分钟内不能完成任务则撤回,再派下一个人.现在一共有个人可派,工作人员各自在分钟内能完成任务的概率分别依次为,且,,各人能否完成任务相互独立,派出工作人员顺序随机,记派出工作人员的人数为,的数学期望为,证明:.
(参考公式:用最小二乘法求线性回归方程的系数公式
;.)
(参考数据:,.)
(1)某公司试生产一种航空零件,在生产过程中,当每小时次品数超过件时,产品的次品率会大幅度增加,为检测公司的试生产能力,同时尽可能控制不合格品总量,抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情况检查分析,已知在(单位:百件)件产品中,得到次品数量(单位:件)的情况汇总如下表所示,且(单位:件)与(单位:百件)线性相关:
(百件) | |||||
(件) |
根据公司规定,在一小时内不允许次品数超过件,请通过计算分析,按照公司的现有生产技术设备情况,判断可否安排一小时试生产件的任务?
(2)“战神”太空空间站工作人员需走出太空站外完成某项试验任务,每次只派一个人出去,且每个人只派出一次,工作时间不超过分钟,如果有人分钟内不能完成任务则撤回,再派下一个人.现在一共有个人可派,工作人员各自在分钟内能完成任务的概率分别依次为,且,,各人能否完成任务相互独立,派出工作人员顺序随机,记派出工作人员的人数为,的数学期望为,证明:.
(参考公式:用最小二乘法求线性回归方程的系数公式
;.)
(参考数据:,.)
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2020-08-08更新
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420次组卷
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3卷引用:山东省青岛胶州市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题
名校
6 . 某几位大学生自主创业创办了一个服务公司提供、两种民生消费产品(人们购买时每次只买其中一种)服务,他们经过统计分析发现:第一次购买产品的人购买的概率为、购买的概率为,而前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为、购买产品的概率为,前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为、购买产品的概率也是,如此往复.记某人第次来购买产品的概率为.
(1)求,并证明数列是等比数列;
(2)记第二次来公司购买产品的3个人中有个人购买产品,求的分布列并求;
(3)经过一段时间的经营每天来购买产品的人稳定在800人,假定这800人都已购买过很多次该两款产品,那么公司每天应至少准备、产品各多少份.(直接写结论、不必说明理由).
(1)求,并证明数列是等比数列;
(2)记第二次来公司购买产品的3个人中有个人购买产品,求的分布列并求;
(3)经过一段时间的经营每天来购买产品的人稳定在800人,假定这800人都已购买过很多次该两款产品,那么公司每天应至少准备、产品各多少份.(直接写结论、不必说明理由).
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2020-08-07更新
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2374次组卷
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3卷引用:湖北省武汉市2020届高三下学期六月供题(二)数学(理)试题
名校
解题方法
7 . 为了让幼儿园大班的小朋友尝试以客体区分左手和右手,左肩和右肩,在游戏中提高细致观察和辨别能力,同时能大胆地表达自己的想法,体验与同伴游戏的快乐,某位教师设计了一个名为【肩手左右】的游戏,方案如下:
游戏准备:
选取甲、乙两位小朋友面朝同一方向并排坐下进行游戏.教师站在两位小朋友面前出示游戏卡片.游戏卡片为两张白色纸板,一张纸板正反两面都打印有相同的”左“字,另一张纸板正反两面打印有相同的“右”字.
游戏进行:
一轮游戏(一轮游戏包含多次游戏直至决出胜者)开始后,教师站在参加游戏的甲、乙两位小朋友面前出示游戏卡片并大声报出出示的卡片上的“左”或者“右”字.两位小朋友如果听到“左”的指令,或者看到教师出示写有“左”字的卡片就应当将左手放至右肩上并大声喊出“停!”.小朋友如果听到“右”的指令,或者看到教师出示写有“右”字的卡片就应当将右手放至左肩上并大声喊出“停!”.最先完成指令动作的小朋友喊出“停!”时,两位小朋友都应当停止动作,教师根据两位小朋友的动作完成情况进行评分,至此游戏完成一次.
游戏评价:
为了方便描述问题,约定:对于每次游戏,若甲小朋友正确完成了指令动作且乙小朋友未完成则甲得1分,乙得﹣1分;若乙小朋友正确完成了指令动作且甲小朋友未完成则甲得﹣1分,乙得1分;若甲,乙两位小朋友都正确完成或都未正确完成指令动作,则两位小朋友均得0分.当两位小朋友中的一位比另外一位小朋友的分数多8分时,就停止本轮游戏,并判定得分高的小朋友获胜.现假设“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为α,乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为β”,一次游戏中甲小朋友的得分记为X.
(1)求X的分布列;
(2)若甲小朋友、乙小朋友在一轮游戏开始时都赋予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲小朋友的当前累计得分为i时,本轮游戏甲小朋友最终获胜”的概率,则P0=0,p8=1,pi=api﹣1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=﹣1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.
①证明:{pi+1﹣pi}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;
②求p4,并根据p4的值说明这种游戏方案是否能够充分验证“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为0.5,乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.8”的假设.
游戏准备:
选取甲、乙两位小朋友面朝同一方向并排坐下进行游戏.教师站在两位小朋友面前出示游戏卡片.游戏卡片为两张白色纸板,一张纸板正反两面都打印有相同的”左“字,另一张纸板正反两面打印有相同的“右”字.
游戏进行:
一轮游戏(一轮游戏包含多次游戏直至决出胜者)开始后,教师站在参加游戏的甲、乙两位小朋友面前出示游戏卡片并大声报出出示的卡片上的“左”或者“右”字.两位小朋友如果听到“左”的指令,或者看到教师出示写有“左”字的卡片就应当将左手放至右肩上并大声喊出“停!”.小朋友如果听到“右”的指令,或者看到教师出示写有“右”字的卡片就应当将右手放至左肩上并大声喊出“停!”.最先完成指令动作的小朋友喊出“停!”时,两位小朋友都应当停止动作,教师根据两位小朋友的动作完成情况进行评分,至此游戏完成一次.
游戏评价:
为了方便描述问题,约定:对于每次游戏,若甲小朋友正确完成了指令动作且乙小朋友未完成则甲得1分,乙得﹣1分;若乙小朋友正确完成了指令动作且甲小朋友未完成则甲得﹣1分,乙得1分;若甲,乙两位小朋友都正确完成或都未正确完成指令动作,则两位小朋友均得0分.当两位小朋友中的一位比另外一位小朋友的分数多8分时,就停止本轮游戏,并判定得分高的小朋友获胜.现假设“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为α,乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为β”,一次游戏中甲小朋友的得分记为X.
(1)求X的分布列;
(2)若甲小朋友、乙小朋友在一轮游戏开始时都赋予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲小朋友的当前累计得分为i时,本轮游戏甲小朋友最终获胜”的概率,则P0=0,p8=1,pi=api﹣1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=﹣1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.
①证明:{pi+1﹣pi}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;
②求p4,并根据p4的值说明这种游戏方案是否能够充分验证“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为0.5,乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.8”的假设.
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名校
8 . 中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统,预计2020年北斗全球系统建设将全面完成.如图是在室外开放的环境下,北斗二代和北斗三代定位模块,分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值,其中“”表示北斗二代定位模块的误差的值,“+”表示北斗三代定位模块的误差的值.(单位:米)
(Ⅰ)从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个,求此点横坐标误差的值大于10米的概率;
(Ⅱ)从图中A,B,C,D四个点位中随机选出两个,记X为其中纵坐标误差的值小于的点位的个数,求X的分布列和数学期望;
(Ⅲ)试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小.(结论不要求证明)
(Ⅰ)从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个,求此点横坐标误差的值大于10米的概率;
(Ⅱ)从图中A,B,C,D四个点位中随机选出两个,记X为其中纵坐标误差的值小于的点位的个数,求X的分布列和数学期望;
(Ⅲ)试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小.(结论不要求证明)
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2020-06-03更新
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553次组卷
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2卷引用:2020届北京市东城区高三一模考试数学试题
9 . 已知阶方阵中的各元素均为正数,其中每行成等差数列,每列都是公比为2的等比数列,已知.
(1)求和的值;
(2)计算行列式和;
(3)设,证明:当是3的倍数时,能被21整除.
(1)求和的值;
(2)计算行列式和;
(3)设,证明:当是3的倍数时,能被21整除.
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10 . 杨辉三角,是二项式系数在三角形中的一种几何排列.中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角.在欧洲,帕斯卡在1654年也发现了这一规律,所以这个表又叫做帕斯卡三角形.杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一,它把二项式系数图形化,把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来,是一种离散型的数与形的结合.
(1)记杨辉三角的前n行所有数之和为,求的通项公式;
(2)在杨辉三角中是否存在某一行,且该行中三个相邻的数之比为?若存在,试求出是第几行;若不存在,请说明理由;
(3)已知n,r为正整数,且.求证:任何四个相邻的组合数,,,不能构成等差数列.
第0行 | 1 |
第1行 | 1 1 |
第2行 | 1 2 1 |
第3行 | 1 3 3 1 |
第4行 | 1 4 6 4 1 |
第5行 | 1 5 10 10 5 1 |
第6行 | 1 6 15 20 15 6 1 |
(2)在杨辉三角中是否存在某一行,且该行中三个相邻的数之比为?若存在,试求出是第几行;若不存在,请说明理由;
(3)已知n,r为正整数,且.求证:任何四个相邻的组合数,,,不能构成等差数列.
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