1 . （1）设、，，求证：；
（2）请利用二项式定理证明：.

2 . 已知函数.
（1）指出的单调区间；（不要求证明）
（2）若满足，且，求证：；
（3）证明：当时，不等式对任意恒成立.

3 . 记（且）的展开式中含x项的系数为，含项的系数为．
(1)求；
(2)若，对，3，4成立，求实数a，b，c的值；
(3)对（2）中的实数a，b，c，证明：对任意且，都成立．

4 . 规定，其中，m是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广．
(1)求的值．
(2)组合数的两个性质：①；②是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；
(3)已知组合数是正整数，证明：当，m是正整数时，．

5 . （1）计算：；
（2）求；
（3）求证：为偶数.

6 . 已知的二项展开式中，第三项的系数为7.
（1）求证：前三项系数成等差数列；
（2）求出展开式中所有有理项（即的指数为整数的项）.

7 . 我们称元有序实数组为n维向量，为该向量的范数，已知n维向量，其中，，记范数为奇数的n维向量的个数为，这个向量的范数之和为.
（1）求和的值；
（2）求的值；
（3）当n为奇数时，证明：.

8 . （1）设n为正奇数，则被9除的余数为多少？
（2）若n为正整数，求证：能被64整除．

9 . 已知展开式中的项按的升幂排列依次记为，，，，，，设.
（1）若，求的值；
（2）求数列（）的所有项的和；
（3）求证：对任意，恒有.

10 . 对于数列，称（其中）为数列的前k项“波动均值”.若对任意的，都有，则称数列为“趋稳数列”．
（1）若数列1，，2为“趋稳数列”，求的取值范围；
（2）若各项均为正数的等比数列的公比，求证：是“趋稳数列”；
（3）已知数列的首项为1，各项均为整数，前项的和为. 且对任意，都有， 试计算： （）．