名校
1 . 浙江省东魁杨梅是现在世界上最大果形的杨梅，有“乒乓杨梅”、“杨梅之皇”的美誉.东魁杨梅始于浙江黄岩区江口街道东岙村一棵树龄约120多年的野杨梅树，经过东岙村和白龙岙村村民不断改良，形成了今天东魁杨梅的品种.栽培东魁杨梅一举多得，对开发山区资源，绿化荒山，保持水土，增加山区经济收入具有积极意义.根据多年的经验，可以认为东魁杨梅果实的果径
（单位：mm），但因气候、施肥和技术的不同，每年的
和
都有些变化.现某农场为了了解今年的果实情况，从摘下的杨梅果实中随机取出1000颗，并测量这1000颗果实的果径，得到如下频率分布直方图.
(1)用频率分布直方图估计样本的平均数
近似代替，标准差s近似代替，已知
.根据以往经验，把果径与的差的绝对值在
内的果实称为“标准果”.现从农场中摘取20颗果，请问这20颗果恰好有一颗不是“标准果”的概率；（结果精确到0.01）
(2)随着直播带货的发展，该农场也及时跟进.网络销售在大大提升销量的同时，也增加了坏果赔付的成本.现该农场有一款“
”的主打产品，该产品按盒销售，每盒20颗，售价80元，客户在收到货时如果有坏果，每一个坏果该农场要赔付4元.根据收集到的数据，知若采用
款包装盒，成本
元，且每盒出现坏果个数
满足
，若采用
款包装盒，成本
元，且每盒出现坏果个数
满足
，（
为常数），请运用概率统计的相关知识分析，选择哪款包装盒可以获得更大利润?
参考数据：
；
；
；
；
；
.
（单位：mm），但因气候、施肥和技术的不同，每年的和都有些变化.现某农场为了了解今年的果实情况，从摘下的杨梅果实中随机取出1000颗，并测量这1000颗果实的果径，得到如下频率分布直方图.(1)用频率分布直方图估计样本的平均数
近似代替，标准差s近似代替，已知.根据以往经验，把果径与的差的绝对值在内的果实称为“标准果”.现从农场中摘取20颗果，请问这20颗果恰好有一颗不是“标准果”的概率；（结果精确到0.01）(2)随着直播带货的发展，该农场也及时跟进.网络销售在大大提升销量的同时，也增加了坏果赔付的成本.现该农场有一款“
”的主打产品，该产品按盒销售，每盒20颗，售价80元，客户在收到货时如果有坏果，每一个坏果该农场要赔付4元.根据收集到的数据，知若采用款包装盒，成本元，且每盒出现坏果个数满足，若采用款包装盒，成本元，且每盒出现坏果个数满足，（为常数），请运用概率统计的相关知识分析，选择哪款包装盒可以获得更大利润?参考数据：
；；；；；.
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2022-03-11更新
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1684次组卷
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6卷引用：广东省江门市2022届高三下学期3月高考模拟数学试题
广东省江门市2022届高三下学期3月高考模拟数学试题（已下线）专题52 盘点随机变量分布列及期望的问题——备战2022年高考数学二轮复习常考点专题突破（已下线）专题25 随机变量及其分布- 2022届高考数学一模试题分类汇编（新高考卷）湖南省长郡中学2023届高三下学期月考(七)数学试题（已下线）7.5 正态分布 (精讲）（2）（已下线）7.5 正态分布（2）
名校
2 . 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：
将频率视为概率，解答下列问题：
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率．
(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列．
(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．
| 品牌 | 甲 | 乙 | |||
| 首次出现故 障时间x(年) | 0<x≤1 | 1<x≤2 | x>2 | 0<x≤2 | x>2 |
| 轿车数量(辆) | 2 | 3 | 45 | 5 | 45 |
| 每辆利润 (万元) | 1 | 2 | 3 | 1.8 | 2.9 |
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率．
(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列．
(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．
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2019-01-30更新
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1432次组卷
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12卷引用：山东省聊城市第三中学2021-2022学年高二下学期第一次质量检测数学试题
山东省聊城市第三中学2021-2022学年高二下学期第一次质量检测数学试题人教A版(2019) 选修第三册 核心素养 第七章 7.3.1 离散型随机变量的均值（已下线）2014年高考数学（理）二轮复习专题能力测评7练习卷（已下线）2014年高考数学三轮冲刺模拟 概率与统计2014-2015学年湖北省襄阳市南漳一中等高二12月联考理科数学试卷安徽省阜阳市颍州区第三中学2019-2020学年高二上学期期末数学（理）试题专题08+概率与统计-2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化（已下线）突破2.3离散型随机变量的均值与方差突破满分数学之2019-2020学年高二数学(理)课时训练(人教A版选修2-3)（已下线）专题32 概率和统计【理】-十年（2011-2020）高考真题数学分项（五）（已下线）7.3.1 离散型随机变量的均值（2）6.3.1离散型随机变量的均值北师大版(2019) 选修第一册 数学奇书 第六章 概率 §3 离散型随机变量的均值与方差 3.1 离散型随机变量的均值
解题方法
3 . 现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素.某企业去年前八个月的物流成本(单位：万元)和企业利润的数据(单位：万元)如下表所示：
根据最小二乘法公式求得经验回归方程为
.
(1)求m的值，并利用已知的经验回归方程求出8月份对应的残差值
；
(2)请先求出线性回归模型的决定系数
(精确到0.0001)，若根据非线性模型
求得解释变量(物流成本)对于响应变量(利润)的决定系数
，请说明以上两种模型哪种模型拟合效果更好.
参考公式及数据：
，
，
.
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
物流成本x | 83 | 83.5 | 80 | 86.5 | 89 | 84.5 | 79 | 86.5 |
利润y | 114 | 116 | 106 | 122 | 132 | 114 | m | 132 |
残差 | 0.2 | 0.6 | 1.8 | －3 | －1 | －4.6 | －1 |
.(1)求m的值，并利用已知的经验回归方程求出8月份对应的残差值
；(2)请先求出线性回归模型
的决定系数(精确到0.0001)，若根据非线性模型求得解释变量(物流成本)对于响应变量(利润)的决定系数，请说明以上两种模型哪种模型拟合效果更好.参考公式及数据：
，，.
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4 . 某公司生产某种产品，一条流水线年产量为
件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见下表：
从第一道生产工序抽样调查了
件，得到频率分布直方图如图：
若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是元、
元、
元.
（Ⅰ）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；
（Ⅱ）将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；
（Ⅲ）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是
万元，使用寿命是
年，安装这种设备后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布
，且不影响产量.请你帮该公司作出决策，是否要购买该设备？说明理由.
（参考数据：
，
，
）
件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见下表：第一段生产的半成品质量指标 |
|
|
|
第二段生产的成品为一等品概率 | 0.2 | 0.4 | 0.6 |
第二段生产的成品为二等品概率 | 0.3 | 0.3 | 0.3 |
第二段生产的成品为三等品概率 | 0.5 | 0.3 | 0.1 |
或
或
件，得到频率分布直方图如图：若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是
元、元、元.（Ⅰ）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；
（Ⅱ）将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；
（Ⅲ）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是
万元，使用寿命是年，安装这种设备后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布，且不影响产量.请你帮该公司作出决策，是否要购买该设备？说明理由.（参考数据：
，，）
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2019-04-13更新
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1369次组卷
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5卷引用：6.5 正态分布 同步练习
6.5 正态分布 同步练习【省级联考】山东省2019届高三第一次大联考理科数学试题【全国百强校】]江西省上饶市横峰中学2019届高三考前模拟考试数学（理）试题2020届河南省名师联盟高三入学调研考试数学（理）试题（已下线）考点18 决策的选择问题 2024届高考数学考点总动员
5 . 在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
作物产量(kg) | 300 | 500 |
概率 | 0.5 | 0.5 |
作物市场价格(元/kg) | 6 | 10 |
概率 | 0.4 | 0.6 |
（1）设
表示在这块地上种植1季此作物的利润，求的分布列；
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2016-12-03更新
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3583次组卷
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11卷引用：江苏省连云港市赣榆高级中学2022-2023学年高三上学期10月学情检测数学试题
江苏省连云港市赣榆高级中学2022-2023学年高三上学期10月学情检测数学试题2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（陕西卷）（已下线）2015届湖北省武汉市高三9月调考理科数学试卷（已下线）2019年5月4日 《每日一题》理数选修2-3-周末培优【校级联考】湖南省醴陵二中、醴陵四中2018-2019学年高二下学期期中联考数学（文）试题湖南省株洲市2019-2020学年高二上学期期中数学（理）试题专题11.3 概率分布与数学期望、方差（练）-江苏版《2020年高考一轮复习讲练测》（已下线）突破2.2二项分步及其应用-突破满分数学之2019-2020学年高二数学(理)课时训练(人教A版选修2-3)（已下线）专题32 概率和统计【理】-十年（2011-2020）高考真题数学分项（六）（已下线）8.4 离散型随机变量的分布列，期望与方差（高考真题素材之十年高考）（已下线）专题25 概率统计解答题（理科）-1
名校
解题方法
6 . 某书店销售刚刚上市的高二数学单元测试卷，按事先拟定的价格进行5天试销，每种单价试销1天，得到如下数据：
由数据知，销量y与单价x之间呈线性相关关系．
(1)求y关于x的回归直线方程；附：
，
．
(2)预计以后的销售中，销量与单价服从（1）中的回归直线方程，已知每册单元测试卷的成本是10元，为了获得最大利润，该单元测试卷的单价应定为多少元？
单价/元 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
销量/册 | 61 | 56 | 50 | 48 | 45 |
(1)求y关于x的回归直线方程；附：
，．(2)预计以后的销售中，销量与单价服从（1）中的回归直线方程，已知每册单元测试卷的成本是10元，为了获得最大利润，该单元测试卷的单价应定为多少元？
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2023-01-04更新
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454次组卷
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5卷引用：四川省成都市树德中学2022-2023学年高二上学期期末检测数学（理）试题
名校
7 . 10月1日，某品牌的两款最新手机（记为
型号，
型号）同时投放市场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到下表：
（Ⅰ）若在10月1日当天，从
，
这两个手机店售出的新款手机中各随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有一部为型号手机的概率；
（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用
表示其中型号手机销量超过型号手机销量的手机店的个数，求随机变量的分布列和数学期望；
（III）经测算，型号手机的销售成本（百元）与销量（部）满足关系
.若表中型号手机销量的方差
，试给出表中5个手机店的型号手机销售成本的方差
的值.（用表示，结论不要求证明）
型号，型号）同时投放市场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到下表：| 手机店 | | |  |  |  |
| 型号手机销量 | 6 | 6 | 13 | 8 | 11 |
| 型号手机销量 | 12 | 9 | 13 | 6 | 4 |
，这两个手机店售出的新款手机中各随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有一部为型号手机的概率；（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用
表示其中型号手机销量超过型号手机销量的手机店的个数，求随机变量的分布列和数学期望；（III）经测算，
型号手机的销售成本（百元）与销量（部）满足关系.若表中型号手机销量的方差，试给出表中5个手机店的型号手机销售成本的方差的值.（用表示，结论不要求证明）
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2019-06-12更新
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1909次组卷
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7卷引用：人教A版(2019) 选修第三册 一蹴而就 第七章 7.3 离散型随机变量的数字特征
人教A版(2019) 选修第三册 一蹴而就 第七章 7.3 离散型随机变量的数字特征【全国百强校】湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试数学（理）试题2020届山东省青岛二中高三上学期10月月考数学试题河北省邯郸一中2019-2020学年高三下学期第九次模拟数学试题（已下线）专题06 离散型随机变量的期望与方差（第四篇）-备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖海南省华侨中学2019-2020学年高二（6月）第二次阶段性考试数学试题安徽省淮北市第一中学2020届高三下学期第七次月考数学(理)试题
解题方法
8 . 随着互联网的迅速发展，越来越多的消费者开始选择网络购物，某营销部门统计了
年某月某地区的部分特产的网络销售情况，得到网民对不同特产的满意度
和对应的销售额
（万元）的数据如下表：
(1)求销售额关于满意度
的相关系数
；
(2)约定：销量额关于满意度的相关系数的绝对值在
及以上表示线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．如果没有达到较强线性相关，则采取“末位淘汰”制（即销售额最少的特产退出销售），求剔除“末位淘汰”的特产后的销量额关于满意度的线性回归方程．（结果精确到
）
参考数据：记，的5组样本数据分别为
，…，
，
，
，
，
，
，
，
．
年某月某地区的部分特产的网络销售情况，得到网民对不同特产的满意度和对应的销售额（万元）的数据如下表：| 特产种类 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 | 戊 |
| 满意度/% | 22 | 34 | 25 | 20 | 19 |
| 销售额/万元 | 78 | 90 | 86 | 76 | 75 |
关于满意度的相关系数；(2)约定：销量额
关于满意度的相关系数的绝对值在及以上表示线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．如果没有达到较强线性相关，则采取“末位淘汰”制（即销售额最少的特产退出销售），求剔除“末位淘汰”的特产后的销量额关于满意度的线性回归方程．（结果精确到）参考数据：记
，的5组样本数据分别为，…，，，，，，，，．
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名校
解题方法
9 . 某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本
（元）与生产该产品的数量
（千件）有关，经统计得到如下数据：
根据以上数据绘制了散点图观察散点图，两个变量间关系考虑用反比例函数模型
和指数函数模型
分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为
，
与x的相关系数
.
(2)用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.001），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；
(3)根据企业长期研究表明，非原料成本y服从正态分布
，用样本平均数
作为的估计值
，用样本标准差s作为的估计值
，若非原料成本y在
之外，说明该成本异常，并称落在之外的成本为异样成本，此时需寻找出现异样成本的原因.利用估计值判断上述非原料成本数据是否需要寻找出现异样成本的原因？
参考数据（其中
）：
参考公式：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
，相关系数
.
（元）与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据：| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| y | 56.5 | 31 | 22.75 | 17.8 | 15.95 | 14.5 | 13 | 12.5 |
和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为，与x的相关系数.
(2)用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.001），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；
(3)根据企业长期研究表明，非原料成本y服从正态分布
，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，若非原料成本y在之外，说明该成本异常，并称落在之外的成本为异样成本，此时需寻找出现异样成本的原因.利用估计值判断上述非原料成本数据是否需要寻找出现异样成本的原因？参考数据（其中
）： |  |  |  |  |  |  |  |
| 0.34 | 0.115 | 1.53 | 184 | 5777.555 | 93.06 | 30.705 | 13.9 |
，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，相关系数.
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2022-01-17更新
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2725次组卷
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12卷引用：江西省上饶市2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学（理）试题
江西省上饶市2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学（理）试题陕西省西安市鄠邑区第一中学2021-2022学年高二下学期第一次月考理科数学试题(A卷)2023版 湘教版(2019) 选修第二册 过关斩将 第4章 综合拔高练（已下线）一元线性回归模型及其应用（已下线）第八章 成对数据的统计分析（A卷·知识通关练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（人教A版2019）（已下线）拓展一：数学建模 建立统计模型进行预测（非线性回归模型） (综合）-【精讲精练】2022-2023学年高二数学下学期同步精讲精练（人教A版2019选择性必修第三册）湖北省十一校2023届高三下学期第二次联考数学试题黑龙江省佳木斯市第一中学2022-2023学年高三第一次调研考试数学试题福建省厦门双十中学2023届高三热身考试数学试题黑龙江省佳木斯市第一中学2024届高三第一次调研考试数学试题专题16回归分析单元测试B卷——第八章 成对数据的统计分析
解题方法
10 . 某公司拟对某种材料进行应用改造，产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本（元）与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据：
对历史数据对比分析，考虑用函数模型①，②分别对两个变量的关系进行拟合，令模型①中
上，模型②中
，对数据作了初步处理，已计算得到如下数据：
(1)设
和的样本相关系数为
，和
的样本相关系数为
，已经计算得出
，请从样本相关系数（精确到0.01）的角度判断，哪个模型拟合效果更好？
(2)根据（1）的选择及表中数据，建立关于的非线性回归方程，并用其估计当每件产品的非原料成本为21元时，产量约为多少千件？
参考公式：对于一组数据
，
，…，
其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
，相关系数
.
（元）与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据： | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 112 | 61 | 44.5 | 35 | 30.5 | 28 | 25 | 24 |
，②分别对两个变量的关系进行拟合，令模型①中上，模型②中，对数据作了初步处理，已计算得到如下数据： |  |  | | | |  |  |
| 0.34 | 45 | 0.115 | 22385.5 | 1.53 | 183.4 | 61.4 | 0.135 |
和的样本相关系数为，和的样本相关系数为，已经计算得出，请从样本相关系数（精确到0.01）的角度判断，哪个模型拟合效果更好？(2)根据（1）的选择及表中数据，建立
关于的非线性回归方程，并用其估计当每件产品的非原料成本为21元时，产量约为多少千件？参考公式：对于一组数据
，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，，相关系数.
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2022-03-31更新
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843次组卷
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3卷引用：广西柳州市2022届高三第三次模拟考试数学（文）试题
广西柳州市2022届高三第三次模拟考试数学（文）试题广西柳州市2022届高三第三次模拟考试数学（理）试题（已下线）第01讲 线性回归分析-【帮课堂】2021-2022学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第二册）
