名校
1 . 若函数
满足：对任意实数
以及定义中任意两数
、
（
），恒有
，则称是下凸函数.
（1）证明：函数
是下凸函数；
（2）判断
是不是下凸函数，并说明理由；
（3）若是定义在
上的下凸函数，常数
，满足：
，
，且
，求证：
，并求在上的解析式.
满足：对任意实数以及定义中任意两数、（），恒有，则称是下凸函数.（1）证明：函数
是下凸函数；（2）判断
是不是下凸函数，并说明理由；（3）若
是定义在上的下凸函数，常数，满足：，，且，求证：，并求在上的解析式.
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2 . 已知
：
为有穷数列.若对任意的
，都有
（规定
），则称具有性质
.设
.
(1)判断数列
：1，0.1，-0.2，0.5，
：1，2，0.7，1.2，2是否具有性质P?若具有性质P，写出对应的集合
；
(2)若具有性质，证明：
；
(3)给定正整数
，对所有具有性质的数列，求中元素个数的最小值.
：为有穷数列.若对任意的，都有（规定），则称具有性质.设.(1)判断数列
：1，0.1，-0.2，0.5，：1，2，0.7，1.2，2是否具有性质P?若具有性质P，写出对应的集合；(2)若
具有性质，证明：；(3)给定正整数
，对所有具有性质的数列，求中元素个数的最小值.
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2023-11-02更新
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422次组卷
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2卷引用：北京一零一中2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题
2023高三·全国·专题练习
名校
3 . 已知由实数组成的数组
满足下面两个条件：
①
；②
．
(1)当
时，求，的值；
(2)当
时，求证
；
(3)设
，且
，求证：
．
满足下面两个条件：①
；②．(1)当
时，求，的值；(2)当
时，求证；(3)设
，且，求证：．
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名校
解题方法
4 . 在
中，
对应的边分别为
，
(1)求
；
(2)奥古斯丁.路易斯.柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年-1857年），法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若
是内一点，过作
垂线，垂足分别为
，借助于三维分式型柯西不等式：
当且仅当
时等号成立.求
的最小值.
中，对应的边分别为，(1)求
；(2)奥古斯丁.路易斯.柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年-1857年），法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若
是内一点，过作垂线，垂足分别为，借助于三维分式型柯西不等式：当且仅当时等号成立.求的最小值.
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2023-06-11更新
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1387次组卷
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6卷引用：重庆市第一中学校2022-2023学年高一下学期期中数学试题
2023高三·全国·专题练习
5 . 对正数，证明
，证明
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名校
解题方法
6 . 已知函数
.
(1)的最小值为M，求M的值；
(2)若
，求证：
.
.(1)
的最小值为M，求M的值；(2)若
，求证：.
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2022-07-05更新
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496次组卷
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3卷引用：三省三校2023届高三第一次联考文科数学试题
7 . 如果整数
，证明：
.
，证明：.
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解题方法
8 . （1）证明不等式
；
（2）试将上述不等式加以推广，写出一个推广后的不等式，使得已知不等式成为这个不等式的特例，并证明推广后得到的不等式．
；（2）试将上述不等式加以推广，写出一个推广后的不等式，使得已知不等式成为这个不等式的特例，并证明推广后得到的不等式．
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名校
解题方法
9 . 已知
，
，函数
.
（1）若函数
在
上有两个不同的零点，求
的取值范围；
（2）求证：当
时，
.
，，函数.（1）若函数
在上有两个不同的零点，求的取值范围；（2）求证：当
时，.
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2021-01-30更新
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830次组卷
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5卷引用：浙江省嘉兴市2020-2021学年高一上学期期末数学试题
浙江省嘉兴市2020-2021学年高一上学期期末数学试题（已下线）【新东方】双师149高一下（已下线）【新东方】在线数学102高一上湖北省襄阳市第五中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题浙江省东阳市外国语学校2022-2023学年高一上学期期末数学试题
10 . 已知
.且
.
（1）求证：
；
（2）设
为整数，且
恒成立，求的最小值.
.且.（1）求证：
；（2）设
为整数，且恒成立，求的最小值.
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