1 . 已知
：
为有穷数列.若对任意的
，都有
（规定
），则称具有性质
.设
.
(1)判断数列
：1，0.1，-0.2，0.5，
：1，2，0.7，1.2，2是否具有性质P?若具有性质P，写出对应的集合
；
(2)若具有性质，证明：
；
(3)给定正整数
，对所有具有性质的数列，求中元素个数的最小值.
：为有穷数列.若对任意的，都有（规定），则称具有性质.设.(1)判断数列
：1，0.1，-0.2，0.5，：1，2，0.7，1.2，2是否具有性质P?若具有性质P，写出对应的集合；(2)若
具有性质，证明：；(3)给定正整数
，对所有具有性质的数列，求中元素个数的最小值.
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2023-11-02更新
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447次组卷
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2卷引用：北京一零一中2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题
名校
解题方法
2 . 在
中，
对应的边分别为
，
(1)求
；
(2)奥古斯丁.路易斯.柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年-1857年），法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若
是内一点，过作
垂线，垂足分别为
，借助于三维分式型柯西不等式：
当且仅当
时等号成立.求
的最小值.
中，对应的边分别为，(1)求
；(2)奥古斯丁.路易斯.柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年-1857年），法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若
是内一点，过作垂线，垂足分别为，借助于三维分式型柯西不等式：当且仅当时等号成立.求的最小值.
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2023-06-11更新
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1541次组卷
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8卷引用：重庆市第一中学校2022-2023学年高一下学期期中数学试题
2023高三·全国·专题练习
名校
3 . 已知由实数组成的数组
满足下面两个条件：
①
；②
．
(1)当
时，求
，
的值；
(2)当
时，求证
；
(3)设
，且
，求证：
．
满足下面两个条件：①
；②．(1)当
时，求，的值；(2)当
时，求证；(3)设
，且，求证：．
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名校
解题方法
4 . 已知
，
，函数
.
（1）若函数
在
上有两个不同的零点，求
的取值范围；
（2）求证：当
时，
.
，，函数.（1）若函数
在上有两个不同的零点，求的取值范围；（2）求证：当
时，.
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2021-01-30更新
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832次组卷
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5卷引用：浙江省嘉兴市2020-2021学年高一上学期期末数学试题
浙江省嘉兴市2020-2021学年高一上学期期末数学试题（已下线）【新东方】双师149高一下（已下线）【新东方】在线数学102高一上湖北省襄阳市第五中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题浙江省东阳市外国语学校2022-2023学年高一上学期期末数学试题
5 . 已知
.且
.
（1）求证：
；
（2）设
为整数，且
恒成立，求的最小值.
.且.（1）求证：
；（2）设
为整数，且恒成立，求的最小值.
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名校
解题方法
6 . 已知
为定义在
上的奇函数，且当
时，
取最大值为1.
（1）写出的解析式.
（2）若
，
，求证
（ⅰ）
；
（ⅱ）
.
为定义在上的奇函数，且当时，取最大值为1.（1）写出
的解析式.（2）若
，，求证（ⅰ）
；（ⅱ）
.
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解题方法
7 . 已知数列
满足
，且
.
（1）使用数学归纳法证明：
；
（2）证明：
；
（3）设数列
的前n项和为
，证明：
.
满足，且.（1）使用数学归纳法证明：
；（2）证明：
；（3）设数列
的前n项和为，证明：.
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2020-10-27更新
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331次组卷
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4卷引用：【市级联考】浙江省湖州市2017-2018学年高一（下）期末数学试卷
【市级联考】浙江省湖州市2017-2018学年高一（下）期末数学试卷（已下线）专题6.6 数学归纳法（讲）- 浙江版《2020年高考一轮复习讲练测》（已下线）专题7.6 数学归纳法（讲）-2021年新高考数学一轮复习讲练测人教B版(2019) 选修第三册 一蹴而就 第五章 5.5数学归纳法
解题方法
8 . 已知数列满足
，
．求证：当
时，
（Ⅰ）
；
（Ⅱ）当
时，有
；
（Ⅲ）当
时，有
．
满足，．求证：当时，（Ⅰ）
；（Ⅱ）当
时，有；（Ⅲ）当
时，有．
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9 . 已知集合
，且
中的元素个数大于等于5.若集合中存在四个不同的元素
，使得
，则称集合是“关联的”，并称集合
是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”.
分别判断集合
和集合
是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有 的关联子集；
已知集合
是“关联的”，且任取集合
，总存在的关联子集，使得
.若
，求证：
是等差数列；
集合是“独立的”，求证：存在
，使得
.
，且中的元素个数大于等于5.若集合中存在四个不同的元素，使得，则称集合是“关联的”，并称集合是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”.分别判断集合和集合是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其已知集合是“关联的”，且任取集合，总存在的关联子集，使得.若，求证：是等差数列；集合是“独立的”，求证：存在，使得.
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2020-02-09更新
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1511次组卷
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9卷引用：2020届北京市海淀区高三上学期期中数学试题
2020届北京市海淀区高三上学期期中数学试题（已下线）专题02 拿高分题目强化卷（第三篇）-备战2021年新高考数学分层强化训练（北京专版）北京市海淀区2021届高三模拟试题（一）（已下线）考点47 推理与证明-备战2022年高考数学（文）一轮复习考点帮北京市清华大学附属中学朝阳学校2021-2022学年高二5月月考数学试题北京市第五十七中学2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题北京市第八中学2023届高三上学期12月测试数学试题上海市上海中学2022届高三下学期高考模拟3数学试题北京市朝阳区中国人民大学朝阳分校2021-2022学年高三上学期开学考数学试题
解题方法
10 . 已知数列满足，
．记
，设数列
的前项和为，求证：当时．
（Ⅰ）
；
（Ⅱ）
；
（Ⅲ）
．
满足，．记，设数列的前项和为，求证：当时．（Ⅰ）
；（Ⅱ）
；（Ⅲ）
．
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