1 . 易知椭圆，其短轴为4，离心率为e₁.双曲线的渐近线为，离心率为e₂，且.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设椭圆E的右焦点为F，过点G(4，0)斜率不为0的直线交椭圆E于M、N两点设直线FM和FN的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.

2 . 已知椭圆过点，且右焦点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点．若，求证：为定值；
（3）在（2）的条件下，若点不在椭圆的内部，点是点关于原点的对称点，试求三角形面积的最小值．

3 . ．
已知点是椭圆右焦点，点、分别是x轴、 y上的动点，且满足，若点满足．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（其中为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

4 . 已知椭圆: 的左、右焦点为F₁、F₂,设点F₁、F₂与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆上任意一点作椭圆的切线与直线的垂线交于点M,求点M的轨迹方程;
(3)若切线与直线交于点,证明:为定值.

5 . 已知双曲线的离心率为2，过点、斜率为1的直线与双曲线交于、两点且，.
（1）求双曲线方程．
（2）设为双曲线右支上动点，为双曲线的右焦点，在轴负半轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．