1 . 已知函数，设曲线在点处的切线与x轴的交点为，其中为正实数．
(1)用表示；
(2)求证：对一切正整数n，的充要条件是；
(3)若，记证明数列成等比数列，并求数列的通项公式．

2 . 已知数列的前项和为，且．
（1）证明：，并求的通项公式；
（2）构造数列求证：无论给定多么大的正整数，都必定存在一个，使.

3 . 已知数列满足．
（1）求的通项公式，并证明：对任意的x>0，有；
（2）求证：

4 . 如图，是曲线上的个点，点在轴的正半轴上，且△是正三角形是坐标原点）．

(1)求、、的值及数列的递推公式；
(2)猜想点的横坐标关于的表达式，并用数学归纳法证明．

5 . 在数列中，已知，．
(1)证明：．
(2)证明：当时，．

6 . 已知数列的前项和为，且，
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数n．（参考数据）

7 . 已知数列的首项，，.
(1)求的通项公式；
(2)证明：对任意的，，；
(3)证明：.

8 . 已知函数的图象是自原点出发的一条折线，当时，该图象是斜率为的线段（其中正常数），设数列由定义．
(1)求和的表达式；
(2)求的表达式，并写出其定义域；
(3)证明：的图象与的图象没有横坐标大于1的交点．

9 . 求证：对于正整数n，令，数列中有无穷多个奇数和无穷多个偶数（表示不超过实数x的最大整数）．

10 . 已知数列{}的前n项和为，且满足．
（1）求数列{}的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，证明：．