1 . 已知数列的首项，是与的等差中项．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)证明：．

2 . 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为的中点，为棱上一动点.
   
(1)在棱上何处时，可使得平面?并证明你的结论；
(2)求证：平面平面.

3 . 选用恰当的证明方法，证明下列不等式.
(1)已知，求证：
(2)已知a，b，c为正数，且满足.证明：；

4 . （1）已知，，，求证：.
（2）用分析法证明：对于任意时，有.

6 . （1）已知x，y＞0，且x＋y＞2.求证：中至少有一个小于2；
（2）设a，b，c>0且不全相等，若abc=1，证明：a²(b+c)+b²(c+a)+c²(a+b)>6.

7 . 设函数，.
（1）若函数在点处的切线方程为，求实数，的值；
（2）在（1）的条件下，当时，求证：；
（3）证明：对于任意正整数，不等式.

8 . 如图，在直三棱柱中，已知，设的中点为,.求证：

（1）平面（指出所有大前提、小前提、结论）;
（2）（用分析法证明）.

9 . 已知椭圆的离心率为，两焦点之间的距离为4.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右顶点作直线交抛物线于A、B两点，
①求证：OA⊥OB；
②设OA、OB分别与椭圆相交于点D、E，过原点O作直线DE的垂线OM，垂足为M，证明|OM|为定值.

10 . 设数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式：
（2）设数列的前n项和为，求证：为定值；
（3）判断数列中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论．