1 . 已知椭圆方程，直线与轴相交于点，过右焦点的直线与椭圆交于，两点．

（1）若过点的直线与垂直，且与直线交于点，线段中点为，求证：．
（2）设点的坐标为，直线与直线交于点，试问是否垂直，若是，写出证明过程，若不是，请说明理由．

2 . 已知函数，.
(1)求的单调区间；
(2)证明：.

3 . 如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥、、、，、分别为、的中点，．

(1)证明：平面平面；
(2)若与所成角为，求二面角的余弦值．

4 . 已知函数，．
(1)若不等式恒成立，求a的取值范围；
(2)若时，存在4个不同实数满足．证明：．

5 . 已知函数．
(1)求的图象在点处的切线方程；
(2)证明：．

6 . 如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，，，，，E为PD中点.

(1)求证：面PAB；
(2)点Q在棱PA上，设，若二面角P－CD－Q余弦值为，求.

7 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设是两个不相等的正数，且，证明：.

8 . 已知函数（）．
(1)若函数的极大值为0，求实数a的值；
(2)证明：当时，．

9 . 第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．

(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为p_n，易知．

①试证明：为等比数列；

②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为q_n，比较p₁₀与q₁₀的大小．

10 . 已知双曲线，过点的直线l与该双曲线的两支分别交于 两点，设，．
(1)若，点O为坐标原点，当时，求的值；
(2)设直线l与y轴交于点E，，，证明：为定值．