1 . 个有次序的实数，，，所组成的有序数组，，，称为一个维向量，其中，2，，称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，，，称为维信号向量．设，，则和的内积定义为，且．
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
(2)证明：不存在6个两两垂直的6维信号向量．
(3)已知个两两垂直的2024维信号向量，，，满足它们的前个分量都是相同的，求证：．

2 . 在无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为m阶等差数列.在正项无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为m阶等比数列．
(1)若数列为1阶等比数列，，，求的通项公式及前n项的和；
(2)若数列为m阶等差数列，求证：为m阶等比数列；
(3)若数列既是m阶等差数列，又是阶等差数列，证明：是等比数列．

3 . 已知函数，．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，记的极小值点为．
（ⅰ）证明：存在唯一零点；
（ⅱ）求证：．
（参考数据：）

4 . 设实系数一元二次方程①，有两根，
则方程可变形为，展开得②，
比较①②可以得到
这表明，任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理.
事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理.
设方程有三个根，则有③
(1)证明公式③，即一元三次方程的韦达定理；
(2)已知函数恰有两个零点.
（i）求证：的其中一个零点大于0，另一个零点大于且小于0；
（ii）求的取值范围.

5 . 已知函数，曲线在点处的切线为，记．
(1)当时，求切线的方程；
(2)在（1）的条件下，求函数的零点并证明；
(3)当时，直接写出函数的零点个数．（结论不要求证明）

7 . 对于正整数集合（），如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”；
(1)判断集合和是否是“可分集合”（不必写过程）；
(2)求证：四个元素的集合一定不是“可分集合”；
(3)若集合是“可分集合”，证明：为奇数.

8 . 若某类数列满足“，且”，则称这个数列为“型数列”.
(1)若数列满足，求的值并证明：数列是“型数列”；
(2)若数列的各项均为正整数，且为“型数列”，记，数列为等比数列，公比为正整数，当不是“型数列”时，
（i）求数列的通项公式；
（ii）求证：.

10 . 已知函数，为函数的反函数
(1)讨论在上的单调性，并用定义证明；
(2)设，求证：有且仅有一个零点，且.