1 . 已知矩形中，分别是矩形四条边的中点，以矩形中心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.直线上的动点满足.
   
(1)求直线与直线交点的轨迹方程；
(2)当时，过点的直线（与轴不重合）和点轨迹交于两点，过点作直线的垂线，垂足为点.设直线与轴交于点，求面积的最大值.

2 . 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．
(1)根据该公式估算的值，精确到小数点后两位；
(2)由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明；
(3)设，证明：．

3 . 已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”.
(1)试判断集合是否具有性质，并说明理由；
(2)若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”；
(3)证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”.

4 . 已知曲线：（）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设曲线与曲线关于y轴对称，过曲线上任意一点作直线，与曲线分别相切于，两点，试求出直线与曲线所有公共点的坐标 .

5 . 从教学楼一楼到二楼共有11级台阶（从下往上依次为第1级，第2级，，第11级），学生甲一步能上1级或2级台阶，若甲从一楼上到二楼使用每一种方法都是等概率的，则甲踩过第5级台阶的概率是______．

6 . 在四面体ABCD中，，，E，F，G分别是棱BC，AC，AD上的动点，且满足AB，CD均与面EFG平行，则（       ）

A．直线AB与平面ACD所成的角的余弦值为

B．四面体ABCD被平面EFG所截得的截面周长为定值1

C．的面积的最大值为

D．四面体ABCD的内切球的表面积为

7 . 已知抛物线C的标准方程为，O为坐标原点，直线l为其准线，点A，B是C上的两个动点（不是原点O），线段与x轴交于点M，连接并延长交准线于点D，则（       ）

A．若点M为C的焦点，则直线平行于x轴

B．若点M为C的焦点，则线段的长度的最小值为4

C．若，则点M为C的焦点

D．若与的面积之积为定值，则点M为C的焦点

8 . 如图所示，已知的外接圆半径为，，是线段，上的两点，点是的外心，且是线段的中点，.

(1)证明：；
(2)求的最小值.

9 . 若定义在上的函数满足：的单调区间与的单调区间完全相同，则称为“二阶和谐函数”．
(1)求证：是“二阶和谐函数”；
(2)若是“二阶和谐函数”，求实数a的取值范围．

10 . 已知抛物线的焦点为F，过抛物线上任意一点P作圆的切线，A为切点，且直线交抛物线于另一点Q，则下列结论正确的有（     ）

A．的最小值为

B．的取值范围为

C．三角形面积的最小值为

D．连接，并延长，分别交抛物线于N，M两点，设直线和直线的斜率分别为，，则