1 . 已知双曲线的实轴长为4，且双曲线经过点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点且斜率不为零的直线与双曲线交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线过定点.

2 . 已知函数若存在实数，使得方程有4个不同的实数根，且.则的取值范围为______，的取值范围为______.

3 . 已知，两点的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为，设点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)设点的坐标为，直线与曲线的另一个交点为，与轴的交点为，若，，试问是否为定值？若是定值，请求出结果，若不是定值，请说明理由．

4 . 已知函数在定义域内存在实数和非零实数，使得成立，则称函数为“伴和函数”.
(1)判断是否存在实数，使得函数为“伴和函数”？若存在，请求出的范围；若不存在，请说明理由；
(2)证明：函数在上为“伴和函数”；
(3)若函数在上为“伴和函数”，求实数的取值范围.

5 . 若，且，都有，则的最大值为__________.

6 . 已知函数.
(1)设，当时，求证为增函数；
(2)当时，求证.

7 . 已知函数．

(1)求函数的单调区间；
(2)若，求证：．

8 . 已知在正三棱锥中，为等边三角形，由此三棱锥截成的三棱台中，，则下列叙述正确的是（       ）

A．该三棱台的高为2

B．

C．该三棱台的侧面积为

D．该三棱台外接球的半径长为

9 . 如图1，在四边形中，，，.为的中点，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的几何体.
   
(1)证明：平面；
(2)若为上靠近点的三等分点，求二面角的余弦值.

10 . 已知函数，其中．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，判断函数的零点个数．