1 . 已知函数，．
(1)当时，求证：；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)已知，证明：．

2 . 在中，角的对边分别为.
（1）求证：中至少有一个角大于或等于；
（2）若角成等差数列，证明.

3 . 已知函数，其中为非零常数.
（1）讨论的极值点个数，并说明理由；
（2）若，
①证明：在区间内有且仅有个零点；
②设为的极值点，为的零点，且，求证：.

4 . 数列满足：
（Ⅰ）写出，猜想通项公式，用数学归纳法证明你的猜想；
（Ⅱ）求证：．

5 . 已知椭圆的上、下顶点分别是，点P（异于两点），直线PA与PB的斜率之积为，椭圆C的长轴长为6．
(1)求C的标准方程；
(2)已知，直线PT与椭圆C的另一个交点为Q，且直线AP与BQ相交于点D，证明点在定直线上.

6 . 已知椭圆与双曲线的焦距之比为．
(1)求椭圆和双曲线的离心率；
(2)设双曲线的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：．

7 . 已知椭圆经过点和．
(1)求的方程；
(2)若点（异于点）是上不同的两点，且，证明直线过定点，并求该定点的坐标．

8 . 已知函数．
(1)当时，求在曲线上的点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若有两个极值点，，证明：．

9 . 已知椭圆的左、右焦点为，，且经过点，点为椭圆的右顶点，直线与椭圆交于（异于点）两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若以为直径的圆过点，求证直线过定点，并求该定点坐标.

10 . 已知，函数，．
(1)若，，求；
(2)若，，求m；
(3)若，，求证：．