1 . 如图，在正三棱柱中，底面为的中点，为上一个动点.

(1)若为靠近点线段的三等分点，求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角等于？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

2 . 已知椭圆的离心率，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，与交于点，记的率分别为，试探究的关系，并证明.

3 . 已知函数.
(1)证明：当时，对恒成立.
(2)若存在，使得，比较与的大小，并说明理由.

4 . 已知中心在原点，长轴在轴上的椭圆的左右顶点分别为和，P为椭圆上的除左右顶点外的任一点，且，斜率之乘积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过分别作两条直线与椭圆交于点，点；线段的中点为，线段的中点为，若，求证：直线过定点.

5 . 设函数，．
(1)讨论函数在区间上的单调性；
(2)若函数在区间上的极值点为a且零点为b，求证：．
（参考数据：，）

6 . 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同，，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，面积的最大值为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设不过原点的直线：与椭圆交于、两点，直线与的斜率分别为、，且，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

7 . 设函数，，.
(1)求函数在上的单调区间；
(2)若，，使成立，求实数的取值范围；
(3)求证：函数在上仅有一个零点，并求（表示不超过的最大整数，如，）
参考数据：，，.

8 . 已知函数．
(1)若在定义域内为单调递减函数，求a的取值范围；
(2)求证：当且时，．

9 . 如图，正方形中，边长为4，为中点，是边上的动点．将沿翻折到沿翻折到，

   

(1)求证：平面平面；
(2)若，连接，设直线与平面所成角为，求的最大值．

10 . 已知函数．
(1)证明；
(2)关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．