1 . 已知函数．
(1)若，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)若，且存在实数，使得．证明：在上存在唯一零点，且．

2 . 已知正三棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则下列结论正确的为（       ）

A．当时，不是正四面体

B．的底面棱长的最大值为

C．的体积随着的增大而增大

D．的体积的最大值为

3 . 已知动点在圆：上，若以点为圆心的圆经过点，且与圆交于两点，记点到直线的距离为，且的最小值为，最大值为，则（       ）

A．

B．

C．

D．

4 . 在中，角，角A的平分线AD与BC边相交于点D，则的最小值为_________.

5 . 已知实数，函数，是自然对数的底数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)求证：存在极值点，并求的最小值.

6 . 已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D是边AC上一点，.

(1)若，，求AD；
(2)若，求的最大值.

8 . 已知函数．
(1)当为何值时，轴为曲线的切线；
(2)用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数．

9 . 已知某工厂要设计一个部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为（单位：），部件的面积是．
   
(1)求关于的函数解析式，并求出定义域；
(2)为节省材料，请问取何值时，所用到的圆形铁片面积最小，最小值为多少？

10 . 已知空间向量，，两两夹角均为，且，.若向量，满足，，则的最大值是_________．