1 . 已知函数．
(1)证明：对任意的，都有．
(2)若关于的方程有两个不等实根，证明：．

2 . 已知函数，其中．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，证明：函数有唯一的零点；
(3)若，求实数a的取值范围．

3 . 已知函数，若，则关于的不等式的解集为______．

4 . 有如下条件：
①对，，2，，均有；
②对，，2，，均有；
③对，，2，3，；若，则均有；
④对，，2，3，；若，则均有.
(1)设函数，，请写出该函数满足的所有条件序号，并充分说明理由；
(2)设，比较函数，，值的大小，并说明理由；
(3)设函数，满足条件②，求证：的最大值.（注：导数法不予计分）

5 . 已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，若函数的最小值为，试判断函数在区间上零点的个数，并说明理由．

6 . 已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值；
(3)若函数在内恰有2023个零点，求与的值.

8 . 已知数列满足，（），若，数列的前项和为，则________．

9 . 设，当时，规定，如，.则下列选项正确的是（       ）

A．

B．

C．设函数的值域为，则的子集个数为

D．

10 . 斐波那契，意大利数学家，其中斐波那契数列是其代表作之一，即数列满足，且，则称数列为斐波那契数列.已知数列为斐波那契数列，数列满足，若数列的前12项和为86，则__________.