1 . 锐角的角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则的取值范围为______．

2 . “弦图”是我国古代三国时期的数学家赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，此图曾作为2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标如图，在正方形中，有4个全等的直角三角形，若图中的两锐角分别为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则的值为________．

   

3 . 若表示从左到右依次排列的8盏灯，现制定开灯与关灯的规则如下：
（1）对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作；
（2）灯在任何情况下都可以进行一次操作；对任意的，要求灯的左边有且只有灯是开灯状态时才可以对灯进行一次操作，
如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯关闭最少需要________次操作；
如果除灯外，其余7盏灯都处于开灯状态，那么要使所有灯都开着最少需要________次操作，

4 . 已知函数的定义域为，其导函数是．有，则关于的不等式的解集为________．

5 . 我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，余弦相似度为向量，夹角的余弦值，记作，余弦距离为．已知，，，若P，Q的余弦距离为，Q，R的余弦距离为，且，则__________.

6 . 在长方体中，，线段有一动点，过作平行于的平面交与点.当直线与平面所成角最大时，________.

7 . 已知向量，夹角为，，若对任意，恒有，则函数的最小值为______．

8 . 在锐角中，内角的对边分别为，且满足．则的取值范围为______.

9 . 已知数列满足，若，则_____．

10 . 已知四边形中，，，设与面积分别为，．则的最大值为__．