1 . 一般地，若的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”．
（1）若为的跟随区间，则______．
（2）若函数存在跟随区间，则的最大值是______．

2 . 定义：如果函数在上存在（），满足，，则称函数是上的“双中值函数”.已知函数是上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是______.

3 . 定义是向量 和的“向量积”，其长度为，其中为向量 和 的夹角．若，，则=______．

4 . 定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点.若函数是上的平均值函数，则实数的取值范围是____

5 . 托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，、是其两条对角线，，且△为正三角形，则△面积的最大值为___________，四边形ABCD的面积为________________.（注：圆内接凸四边形对角互补）

6 . 若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足和恒成立，则称直线为和的“隔离直线”．已知函数，，，则有下列命题：
①与有“隔离直线”；
②和之间存在“隔离直线”，且的最小值为；
③和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是；
④和之间存在唯一的“隔离直线”．
其中真命题的序号为_______________________．（请填上所有正确命题的序号）

7 . 已知在棱长为12的正四面体的内切球球面上有一动点，则的最小值为______，的最小值为______．

8 . 将正整数12分解成两个正整数的乘积有，，，三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为12的最佳分解，当是正整数n的最佳分解时，我们定义函数，例如，则数列的前2020项和为______．

9 . 若干个正整数之和等于10，这些正整数乘积的最大值为______.

10 . 若函数满足对于定义域内的任意一个自变量，都有，则称在上封闭．若定义域，则函数①；②；③；④，其中在D上封闭的是_______．（填序号）