解题方法
1 . 已知椭圆
的右焦点为
，过点
且不垂直于坐标轴的直线交
于
两点，在两点处的切线交于点
．
(1)求证：点在定直线上，并求出该直线方程；
(2)设点
为直线
上一点，且
，求
的最小值．
的右焦点为，过点且不垂直于坐标轴的直线交于两点，在两点处的切线交于点．(1)求证：点
在定直线上，并求出该直线方程；(2)设点
为直线上一点，且，求的最小值．
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2 . 已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围.
.(1)讨论
的单调性；(2)若
恒成立，求实数的取值范围.
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3 . 如图，在三棱锥
中，
，
为
的中点，为
内部一点且
平面
．
平面
；
(2)若
，求二面角
的余弦值．
中，，为的中点，为内部一点且平面．
平面；(2)若
，求二面角的余弦值．
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解题方法
4 . ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图.
分位数：
(2)将年龄不超过（1）中分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民.
（i）完成下列
列联表，并判断是否有
的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联？
（ii）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率.
参考公式：
，其中
．
参考数据：
分位数：(2)将年龄不超过（1）中
分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民.（i）完成下列
列联表，并判断是否有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联？青年 | 非青年 | 合计 | |
喜欢 | 20 | ||
不喜欢 | 60 | ||
合计 | 200 |
参考公式：
，其中．参考数据：
| 0.100 | 0.050 | 0.010 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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5 . 已知
是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且
成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列.(1)求数列
的通项公式；(2)设
，求数列的前项和.
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名校
解题方法
6 . 若函数在
上有定义，且对于任意不同的
，都有
，则称为上的“
类函数”.
(1)若
，判断是否为
上的“2类函数”；
(2)若
，为上的“2类函数”，求实数a的取值范围.
在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”.(1)若
，判断是否为上的“2类函数”；(2)若
，为上的“2类函数”，求实数a的取值范围.
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7 . 已知函数
和数列
，函数
在点
处的切线的斜率记为
，且已知
.
(1)若数列
满足：
，求数列的通项公式；
(2)在（1）的条件下，若数列
满足
，
，是否存在正整数n，使得
成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由.
和数列，函数在点处的切线的斜率记为，且已知.(1)若数列
满足：，求数列的通项公式；(2)在（1）的条件下，若数列
满足，，是否存在正整数n，使得成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由.
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名校
解题方法
8 . 某工厂生产某产品的固定成本为
万元，每生产
万箱，需另投入成本
万元，当产量不足
万箱时，
；当产量不小于万箱时，
，若每箱产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部每售完.
(1)求销售利润
（万元）关于产量（万箱）的函数关系式；
(2)当产量为多少万箱时，该厂在生产中所获得利润最大？
万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足万箱时，；当产量不小于万箱时，，若每箱产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部每售完.(1)求销售利润
（万元）关于产量（万箱）的函数关系式；(2)当产量为多少万箱时，该厂在生产中所获得利润最大？
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9 . 已知公差不为零的等差数列，
，
和
的等比中项与
和
的等比中项相等.
(1)若数列满足
，求数列的前n项和
；
(2)若数列满足，
（
），求数列的通项公式.
，，和的等比中项与和的等比中项相等.(1)若数列
满足，求数列的前n项和；(2)若数列
满足，（），求数列的通项公式.
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10 . 已知函数
.
(1)当
时，求函数的单调区间；
(2)若函数为定义域上的单调函数，求a的值和此时在点
处的切线方程.
.(1)当
时，求函数的单调区间；(2)若函数
为定义域上的单调函数，求a的值和此时在点处的切线方程.
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