1 . 已知函数.
(1)求函数的最小值；
(2)求证：.

2 . 已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，是椭圆上一点，，．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，为线段中点．
（i）求证：点轨迹方程为；
（ii）为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上．

3 . 设和是两个等差数列，记，其中表示，，，这个数中最大的数．
(1)若，，求，，的值；
(2)若为常数列，证明是等差数列；
(3)证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得，，，，是等差数列．

4 . 近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.
(1)该校学生甲､乙､丙三人某周均从两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲､乙､丙该周选择健身中心健身的概率分别为，求这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率；
(2)该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择健身中心的概率为.若丁周六选择健身中心，则周日仍选择健身中心的概率为；若周六选择健身中心，则周日选择健身中心的概率为.求丁周日选择健身中心健身的概率；
(3)现用健身指数来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其值低于1分的概率为0.02.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过.若抽取次数的期望值不超过23，求的最大值.
参考数据：.

6 . 已知椭圆长轴的左右顶点分别为，短轴的上下顶点分别为，四边形面积为，椭圆的离心率是．

   

(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与直线的交点分别为，证明：线段的中点为定点．

7 . 已知函数，且的极值点为.
(1)求；
(2)证明：；
(3)若函数有两个不同的零点，证明：.

8 . 已知椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点.
(1)若点为上一动点，求的最大值与最小值；
(2)若，求的斜率；
(3)在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.

9 . 已知函数是的导函数，.
(1)求的单调区间；
(2)若有唯一零点.
①求实数的取值范围；
②当时，证明：.

10 . 已知数列与数列满足下列条件：①，；②，；③，，记数列的前项积为.

(1)若，，，，求；
(2)是否存在，，，，使得，，，成等比数列？若存在，请写出一组，，，；若不存在，请说明理由；
(3)若，求的最大值.