1 . 设椭圆过点，两点，O为坐标原点.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)是否存在圆心为原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，请说明理由.

2 . 已知函数.
（1）若函数有两个零点，求的取值范围；
（2）证明：当时，关于的不等式在上恒成立.

3 . 已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求证：．

4 . 已知椭圆，焦距为2，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作圆的切线，切点分别为，直线与轴交于点，过点的直线交椭圆于两点，点关于轴的对称点为，求的面积的最大值.

5 . 如图，某运动员从A市出发沿海岸一条笔直公路以每小时15km的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在A市南偏东方向距A市75km，且与海岸距离为45km的海上B处有一艘划艇与运动员同时出发，要追上这位运动员.

（1）划艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？
（2）求划艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角.
（3）若划艇每小时最快行驶11.25km，划艇全速行驶，应沿何种路线行驶才能尽快追上这名运动员，最快需多长时间？

6 . 已知函数.
（1）若，求函数的最小值；
（2）若对于任意恒成立，求的取值范围；
（3）若，求函数的最小值.

7 . 已知椭圆：的左顶点为，右焦点为，斜率为1的直线与椭圆交于，两点，且，其中为坐标原点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点且与直线平行的直线与椭圆交于，两点，若点满足，且与椭圆的另一个交点为，求的值.

8 . 已知椭圆的方程为，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于、两点，且，如图1.

（1）求圆的方程；
（2）如图1，过点的直线与椭圆相交于、两点，求证：射线平分；
（3）如图2所示，点、是椭圆的两个顶点，且第三象限的动点在椭圆上，若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试问：四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由.

9 . 已知函数.
（1）证明：函数在内存在唯一零点；
（2）已知，若函数有两个相异零点，且（为与无关的常数），证明：.

10 . 已知函数.
（1）若函数存在不小于的极小值，求实数的取值范围；
（2）当时，若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.