名校
1 . 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题､新结论的重要方法.
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等.
例如，
，求证：
.
证明：原式
.
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征.
阅读材料二：基本不等式
，当且仅当
时等号成立，它是解决最值问题的有力工具.
例如：在
的条件下，当x为何值时，
有最小值，最小值是多少？
解：∵
，∴
，即
，∴
，
当且仅当
，即
时，有最小值，最小值为2.
请根据阅读材料解答下列问题
（1）已知如，求下列各式的值：
①
___________.
②
___________.
（2）若
，解方程
.
（3）若正数a､b满足，求
的最小值.
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等.
例如，
，求证：.证明：原式
.波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征.
阅读材料二：基本不等式
，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具.例如：在
的条件下，当x为何值时，有最小值，最小值是多少？解：∵
，∴，即，∴，当且仅当
，即时，有最小值，最小值为2.请根据阅读材料解答下列问题
（1）已知如
，求下列各式的值：①
___________.②
___________.（2）若
，解方程.（3）若正数a､b满足
，求的最小值.
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2021-10-29更新
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524次组卷
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3卷引用：江苏省南通中学2020-2021学年高一上学期开学考试数学试题
江苏省南通中学2020-2021学年高一上学期开学考试数学试题江西省南昌市第二中学2023-2024学年高一上学期月考数学试题（一）（已下线）第二章 等式与不等式（压轴题专练）-速记·巧练（沪教版2020必修第一册）
名校
解题方法
2 . 在等腰直角三角形
中，
，点
分别为
的中点，如图1，将
沿
折起，使点
到达点
的位置，且平面
平面
，连接
，如图
（1）证明：平面
和平面
必定存在交线
，且直线
；
（2）若
为
的中点，求证：
平面；
（3）当三棱锥
的体积为
时，求点
到平面
的距离.
中，，点分别为的中点，如图1，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面，连接，如图（1）证明：平面
和平面必定存在交线，且直线；（2）若
为的中点，求证：平面；（3）当三棱锥
的体积为时，求点到平面的距离.
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3 . 已知函数
.
（1）求曲线
在点
处的切线方程；
（2）求证：存在唯一的
，使得曲线在点
处的切线的斜率为
；
（3）比较
与
的大小，并加以证明.
.（1）求曲线
在点处的切线方程；（2）求证：存在唯一的
，使得曲线在点处的切线的斜率为；（3）比较
与的大小，并加以证明.
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名校
解题方法
4 . 已知数列
的首项
，
，
、
、
．
（1）求证：数列
为等比数列；
（2）记
，若
，求最大正整数
；
（3）是否存在互不相等的正整数
、
、，使、、成等差数列且
、
、
成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．
的首项，，、、．（1）求证：数列
为等比数列；（2）记
，若，求最大正整数；（3）是否存在互不相等的正整数
、、，使、、成等差数列且、、成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．
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2020-07-26更新
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322次组卷
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9卷引用：江苏省南通市2019-2020学年高三上学期开学模拟考试数学试题
江苏省南通市2019-2020学年高三上学期开学模拟考试数学试题江苏省南通市如皋中学2017-2018学年第一学期高三第二次阶段测试12月数学试题江西省抚州市临川第一中学2019-2020学年高一下学期开学考试数学试题湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高三10月月考数学（理）试题广东省茂名市电白区2018-2019学年高一下学期期中数学试题湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高三上学期第二次月考理科数学试题福建省永泰一中2021届高三上学期数学月考试题（已下线）专题07 《数列》中的最值问题-2021-2022学年高二数学同步培优训练系列（苏教版2019选择性必修第一册）江西省景德镇一中2021-2022学年高一（19）班下学期期中考试数学试题
名校
5 . 已知函数
．
（1）若曲线
在点
处的切线方程为
，求
的值；
（2）当
时，求证：
；
（3）设函数
，其中
为实常数，试讨论函数
的零点个数，并证明你的结论．
．（1）若曲线
在点处的切线方程为，求的值；（2）当
时，求证：；（3）设函数
，其中为实常数，试讨论函数的零点个数，并证明你的结论．
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2019-12-30更新
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1064次组卷
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5卷引用：2020届江苏省南京市十三中高三下学期期初考试数学试题
2020届江苏省南京市十三中高三下学期期初考试数学试题江苏省苏州市五校2019-2020学年高三上学期12月月考数学试卷（已下线）专题16 函数的零点-2021届江苏省新高考数学大讲坛大一轮复习天津市实验中学2022届高三下学期高考前热身训练数学试题天津市第四中学2023届高三高考热身数学试题
6 . 在平面直角坐标系 xoy 中，离心率为
的椭圆C：
(a>b>0)的左顶点为A，且A到右准线的距离为6，点P、Q是椭圆C上的两个动点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）如图，当P、O、Q共线时，直线PA,QA分别与y轴交于M,N两点，求证：
为定值；
（Ⅲ）设直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2，当k1
k2= -1时，证明直线PQ经过定点R．
的椭圆C：(a>b>0)的左顶点为A，且A到右准线的距离为6，点P、Q是椭圆C上的两个动点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）如图，当P、O、Q共线时，直线PA,QA分别与y轴交于M,N两点，求证：
为定值；（Ⅲ）设直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2，当k1
k2= -1时，证明直线PQ经过定点R．
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7 . （本小题满分１２分）
在三棱柱
中，侧棱
，点
是
的中点，
．
（1）求证：
∥平面
；
（2）
为棱
的中点，试证明：
．
在三棱柱
中，侧棱，点是的中点，．（1）求证：
∥平面；（2）
为棱的中点，试证明：．
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2016-12-02更新
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938次组卷
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3卷引用：2015届江苏省宿迁市重点中学高三下学期期初开学联考理科数学试卷
2015届江苏省宿迁市重点中学高三下学期期初开学联考理科数学试卷2015届江苏省宿迁市重点中学高三下学期期初开学联考文科数学试卷（已下线）2012-2013学年江西省上饶中学高二第一次月考理科数学试卷
8 . 对于定义域为D的函数
，如果存在区间
，同时满足：①
在
内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是．则称是该函数的“和谐区间”．
（1）证明：
是函数=
的一个“和谐区间”．
（2）求证：函数
不存在“和谐区间”．
（3）已知：函数
（
R，
）有“和谐区间” ，当
变化时，求出
的最大值．
，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是．则称是该函数的“和谐区间”．（1）证明：
是函数=的一个“和谐区间”．（2）求证：函数
不存在“和谐区间”．（3）已知：函数
（R，）有“和谐区间” ，当变化时，求出的最大值．
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2013·江苏·一模
名校
9 . 在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：
＋ 
＝1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、PB与直线l：y＝－2分别交于点M、N.
（1）设直线AP、PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值；
（2）求线段MN长的最小值；
（3）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．
＋ ＝1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、PB与直线l：y＝－2分别交于点M、N.（1）设直线AP、PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值；
（2）求线段MN长的最小值；
（3）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．
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2016-12-02更新
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1047次组卷
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5卷引用：2014届江苏省扬州中学高三开学检测文科数学试卷
（已下线）2014届江苏省扬州中学高三开学检测文科数学试卷（已下线）2013届江苏南师附中高三下学期期初教学质量调研数学试卷（已下线）2013届江苏南师附中、天一中学等五校高三下学期期初教学质量调研数学卷上海市金山中学2016-2017学年高二下学期3月段考数学试题安徽省安庆市九一六学校2020-2021学年高二下学期开学考试数学(理)试题
