名校
1 . 已知数列A：a1，a2，…，aN
的各项均为正整数，设集合
，记T的元素个数为
．
(1)①若数列A：1，2，4，5，求集合T，并写出的值；
②若数列A：1，3，x，y，且
，
，求数列A和集合T；
(2)若A是递增数列，求证：“
”的充要条件是“A为等差数列”；
(3)请你判断是否存在最大值，并说明理由．
的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为．(1)①若数列A：1，2，4，5，求集合T，并写出
的值；②若数列A：1，3，x，y，且
，，求数列A和集合T；(2)若A是递增数列，求证：“
”的充要条件是“A为等差数列”；(3)请你判断
是否存在最大值，并说明理由．
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2023-12-30更新
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712次组卷
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7卷引用：北京市北京大学附属中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题
北京市北京大学附属中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题（已下线）北京市海淀区2023届高三上学期期末练习数学试题变式题16-21北京市第二十四中学2023-2024学年高二上学期期末数学模拟试卷（已下线）专题03 条件存在型【讲】【北京版】1广东省惠州市第一中学2024届高三元月阶段测试数学试题（已下线）专题1 集合新定义题(九省联考第19题模式）练（已下线）高考数学冲刺押题卷01（2024新题型）
解题方法
2 . 已知数列
满足
，
，且
，则下列说法正确的是（ ）
满足，，且，则下列说法正确的是（ ）A． ， |
| B．是递增数列 |
C． |
D． ， ， |
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名校
解题方法
3 . 已知数列满足
，且
，若使不等式
成立的
有且只有三项，则
的取值范围为（ ）
满足，且，若使不等式成立的有且只有三项，则的取值范围为（ ）A． | B． |
C． | D． |
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2023-11-27更新
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679次组卷
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2卷引用：上海市行知中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
名校
4 . 已知是无穷数列，
，
，且对于中任意两项
，
，在中都存在一项
，使得
.
(1)若
，
，求
；
(2)若
，求证：数列中有无穷多项为0；
(3)若
，求数列的通项公式.
是无穷数列，，，且对于中任意两项，，在中都存在一项，使得.(1)若
，，求；(2)若
，求证：数列中有无穷多项为0；(3)若
，求数列的通项公式.
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5 . 设数集S满足：①任意
，有
﹔②对任意x，
（x，y可以取相同值），有
或
，则称数集S具有性质P．
(1)判断数集
和
是否具有性质P，并说明理由；
(2)若数集
且
具有性质P．
（i）当
时，判断
是否一定构成等差数列，说明理由；
（ⅱ）若
，数集B中的每个元素均为自然数且
，求数集B中所有元素的和的所有可能值．
，有﹔②对任意x，（x，y可以取相同值），有或，则称数集S具有性质P．(1)判断数集
和是否具有性质P，并说明理由；(2)若数集
且具有性质P．（i）当
时，判断是否一定构成等差数列，说明理由；（ⅱ）若
，数集B中的每个元素均为自然数且，求数集B中所有元素的和的所有可能值．
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名校
解题方法
6 . 已知
．
(1)求函数
的极值；
(2)求证：对任意正整数n，有
；
(3)记
，求整数a，使得
．
．(1)求函数
的极值；(2)求证：对任意正整数n，有
；(3)记
，求整数a，使得．
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名校
7 . 小明进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5.
(1)若小明共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率；
(2)若小明进行两组训练，第一组投篮3次，投中
次，第二组投篮2次，投中
次，求
；
(3)记
表示小明投篮
次，恰有2次投中的概率，记
表示小明在投篮不超过n次的情况下，当他投中2次后停止投篮，此时一共投篮的次数（当投篮n次后，若投中的次数不足2次也不再继续投），证明：
.
(1)若小明共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率；
(2)若小明进行两组训练，第一组投篮3次，投中
次，第二组投篮2次，投中次，求；(3)记
表示小明投篮次，恰有2次投中的概率，记表示小明在投篮不超过n次的情况下，当他投中2次后停止投篮，此时一共投篮的次数（当投篮n次后，若投中的次数不足2次也不再继续投），证明：.
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2023-11-11更新
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2890次组卷
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4卷引用：湖北省部分名校2023-2024学年高三上学期11月期中联考数学试题
名校
解题方法
8 . 已知函数
.
(1)若
对任意的
恒成立，求t的取值范围；
(2)设且
，证明：
.
.(1)若
对任意的恒成立，求t的取值范围；(2)设
且，证明：.
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2023-11-10更新
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587次组卷
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2卷引用：辽宁省大连市金州高级中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题
9 . 对于数列，若存在正数M，使得对一切正整数n，都有
，则称数列为有界数列；若这样的正数M不存在，则称数列为无界数列．下列说法正确的有（ ）
，若存在正数M，使得对一切正整数n，都有，则称数列为有界数列；若这样的正数M不存在，则称数列为无界数列．下列说法正确的有（ ）A．等比数列的公比为 ，若 ，则是有界数列 |
B．若数列的通项 ，则是有界数列 |
C．若正项数列满足： ，则是无界数列 |
D．若数列满足： ，且 ，则是有界数列 |
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2023-11-07更新
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861次组卷
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2卷引用：江苏省苏州市2023-2024学年高三上学期期中数学试题
10 . 设
是正整数，如果存在非负整数
使得
，则称
是
好数，否则称是坏数．例如：
，所以2是
好数．
(1)分别判断
是否为
好数；
(2)若是偶数且是好数，求证：是
好数，且
是好数；
(3)求最少的
坏数．
是正整数，如果存在非负整数使得，则称是好数，否则称是坏数．例如：，所以2是好数．(1)分别判断
是否为好数；(2)若
是偶数且是好数，求证：是好数，且是好数；(3)求最少的
坏数．
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