2024·全国·模拟预测
1 . 已知四棱锥
的顶点都在体积为
的球面上，四棱锥的底面是面积为32的正方形，当四棱锥的体积最大时，该四棱锥的表面积为__ ．
的顶点都在体积为的球面上，四棱锥的底面是面积为32的正方形，当四棱锥的体积最大时，该四棱锥的表面积为
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解题方法
2 . 用铁皮制作一个有底无盖的圆柱形容器，若该容器的容积为
立方米，则至少需要_______ 平方米铁皮
立方米，则至少需要
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3 . 如图是一个水平放置在某地的三棱台型集雨器，已知上､下底的面积分别为
和
，高为
.现在搜集到的雨水平面与上､下底面的距离相等，则该地的降雨量为______ 
.（降雨量等于集雨器中积水体积除以集雨器口的面积）
和，高为.现在搜集到的雨水平面与上､下底面的距离相等，则该地的降雨量为.（降雨量等于集雨器中积水体积除以集雨器口的面积）
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2024·全国·模拟预测
解题方法
4 . 已知某圆柱的高与底面圆的直径均为4，则该圆柱的外接球的体积为______ ；
是圆柱下底面圆的直径，
是圆柱上底面圆周上一点．记该圆柱的内切球为球
，则平面
截球所得截面面积的取值范围为______ ．
是圆柱下底面圆的直径，是圆柱上底面圆周上一点．记该圆柱的内切球为球，则平面截球所得截面面积的取值范围为
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解题方法
5 . 已知球的直径为，，
为球面上的两点，点
在上，且
，
平面
，若
是边长为
的等边三角形，则球心到平面
的距离为________ ．
的直径为，，为球面上的两点，点在上，且，平面，若是边长为的等边三角形，则球心到平面的距离为
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2024·全国·模拟预测
解题方法
6 . 在正四棱台
中，
，且直线
与平面
所成角的大小为
，则异面直线
与
所成角的余弦值为______ ．
中，，且直线与平面所成角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为
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7 . 在矩形中，
，
，
分别是
的中点，将四边形
沿
折起使得二面角
的大小为90°，则三棱锥
的外接球的表面积为______ ．
中，，，分别是的中点，将四边形沿折起使得二面角的大小为90°，则三棱锥的外接球的表面积为
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名校
8 . 如图所示的“升”是我国古代测量粮食的一种容器，从形状上可抽象成一个正四棱台．现有一个上、下底面边长分别为
和
的“升”，侧棱长为
，要做成一个该“升”的几何体，其侧面所需板材的最小面积为_________ 
．
和的“升”，侧棱长为，要做成一个该“升”的几何体，其侧面所需板材的最小面积为．
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9 . 在边长为4的正方形ABCD中，如图1所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把
和
折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥
，如图2所示，则三棱锥外接球的表面积是_________ ；过点M的平面截三棱锥外接球所得截面的面积的取值范围是_________ ．
和折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥，如图2所示，则三棱锥外接球的表面积是外接球所得截面的面积的取值范围是
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2024高三·全国·专题练习
解题方法
10 . 某金属晶体的原子排列的正八面体最密堆积（表示金属晶体原子的六个等径球按如图1所示的方式排列：相邻的两个等径球相切且六个球体中心的连线成正八面体形状，如图2）依然存在空隙（最密堆积中六个球所围成的中间空着的地方）．若等径球的半径为
，空隙中能容纳的最大外来原子（图3中位于中间的小球）的半径为
，则
______ ．
，空隙中能容纳的最大外来原子（图3中位于中间的小球）的半径为，则
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