解题方法
1 . 设
，若非空集合A，B，C同时满足以下4个条件，则称A，B，C是“
无和划分”：
①
；
②
，
，
；
③
，且C中的最小元素大于B中的最小元素；
④
，
，
，必有
，
，
.
(1)若
，
，
，判断A，B，C是否是“
无和划分”，并说明理由.
(2)已知A，B，C是“无和划分”（
）.
（i）证明：对于任意m，
，都有
；
（ii）若存在i，
，使得
，记
.证明：Ω中的所有奇数都属于A.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
，若非空集合A，B，C同时满足以下4个条件，则称A，B，C是“无和划分”：①
；②
，，；③
，且C中的最小元素大于B中的最小元素；④
，，，必有，，.(1)若
，，，判断A，B，C是否是“无和划分”，并说明理由.(2)已知A，B，C是“
无和划分”（）.（i）证明：对于任意m，
，都有；（ii）若存在i，
，使得，记.证明：Ω中的所有奇数都属于A.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
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名校
解题方法
2 . 已知数集
具有性质
：对任意的
，
，
，使得
成立．
(1)分别判断数集
与
是否具有性质，并说明理由；
(2)若
，求
中所有元素的和的最小值并写出取得最小值时所有符合条件的集合；
(3)求证：
．
具有性质：对任意的，，，使得成立．(1)分别判断数集
与是否具有性质，并说明理由；(2)若
，求中所有元素的和的最小值并写出取得最小值时所有符合条件的集合；(3)求证：
．
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2024-02-24更新
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122次组卷
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2卷引用：北京市丰台区第二中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
名校
3 . 正实数构成的集合
，定义
.当集合
中恰有
个元素时，称集合A具有性质
.
(1)判断集合
，
是否具有性质；
(2)若集合A具有性质，且A中所有元素能构成等比数列，中所有元素也能构成等比数列，求集合A中的元素个数的最大值：
(3)若集合A具有性质，且中的所有元素能构成等比数列.问：集合A中的元素个数是否存在最大值?若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.
，定义.当集合中恰有个元素时，称集合A具有性质.(1)判断集合
，是否具有性质；(2)若集合A具有性质
，且A中所有元素能构成等比数列，中所有元素也能构成等比数列，求集合A中的元素个数的最大值：(3)若集合A具有性质
，且中的所有元素能构成等比数列.问：集合A中的元素个数是否存在最大值?若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.
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名校
4 . 正实数构成的集合
，定义
，且
.当集合
中的元素恰有
个数时，称集合A具有性质.
(1)判断集合
是否具有性质；
(2)设集合
具有性质，若
中的所有元素能构成等差数列，求
的值；
(3)若集合A具有性质，且中的所有元素能构成等差数列.问：集合A中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.
，定义，且.当集合中的元素恰有个数时，称集合A具有性质.(1)判断集合
是否具有性质；(2)设集合
具有性质，若中的所有元素能构成等差数列，求的值；(3)若集合A具有性质
，且中的所有元素能构成等差数列.问：集合A中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.
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2023-07-10更新
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212次组卷
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2卷引用：北京市丰台区2022~2023学年高二下学期期末数学试题
5 . 对于集合A，定义函数
，对于两个集合A，B，定义运算A*B＝{x|fA(x)fB(x)＝﹣1}．
(1)若A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，写出fA(1)与fB(1)的值，并求出A*B；
(2)证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B＝B*A，(A*B)*C＝A*(B*C)．
，对于两个集合A，B，定义运算A*B＝{x|fA(x)fB(x)＝﹣1}．(1)若A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，写出fA(1)与fB(1)的值，并求出A*B；
(2)证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B＝B*A，(A*B)*C＝A*(B*C)．
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6 . 设
，
，…，
，
，是
个互不相同的闭区间，若存在实数
使得
，则称这
个闭区间为聚合区间，为该聚合区间的聚合点．
(1)已知
，
为聚合区间，求t的值；
(2)已知，
，…，，为聚合区间．
（ⅰ）设，
是该聚合区间的两个不同的聚合点．求证：存在k，
，使得
；
（ⅱ）若对任意p，q（
且p，
），都有
，
互不包含．求证：存在不同的i，
，使得
．
，，…，，，是个互不相同的闭区间，若存在实数使得，则称这个闭区间为聚合区间，为该聚合区间的聚合点．(1)已知
，为聚合区间，求t的值；(2)已知
，，…，，为聚合区间．（ⅰ）设
，是该聚合区间的两个不同的聚合点．求证：存在k，，使得；（ⅱ）若对任意p，q（
且p，），都有，互不包含．求证：存在不同的i，，使得．
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2022-04-27更新
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1086次组卷
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6卷引用：北京市丰台区2022届高三高考二模数学试题
北京市丰台区2022届高三高考二模数学试题（已下线）第01节 集合(好题帮）（已下线）专题01 集合与常用逻辑用语（讲义）-2023年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）北京市首都师范大学附属丽泽中学2023届高三下学期2月月考数学试题北京卷专题18数列（解答题）北京卷专题02集合（解答题）
名校
7 . 已知集合
(
且
），
，且
．若对任意
（
），当
时，存在
(
)，使得
，则称是
的
元完美子集．
(1)判断下列集合是否是
的3元完美子集，并说明理由；
①
； ②
．
(2)若
是
的3元完美子集，求
的最小值；
(3)若是（且）的元完美子集，求证：
，并指出等号成立的条件．
(且），，且．若对任意（），当时，存在()，使得，则称是的元完美子集．(1)判断下列集合是否是
的3元完美子集，并说明理由；①
； ②．(2)若
是的3元完美子集，求的最小值；(3)若
是（且）的元完美子集，求证：，并指出等号成立的条件．
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2022-03-24更新
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1166次组卷
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6卷引用：北京市丰台区2022届高三一模数学试题
名校
8 . 已知n为正整数，集合
，对于
中任意两个元素
和
，定义：
；
.
(1)当n=3时，设
，
，写出α-β，并计算
；
(2)若集合S满足
，且
，
，
，求集合S中元素个数的最大值，写出此时的集合S，并证明你的结论；
(3)若α，
，且，任取
，求
的值.
，对于中任意两个元素和，定义：；.(1)当n=3时，设
，，写出α-β，并计算；(2)若集合S满足
，且，，，求集合S中元素个数的最大值，写出此时的集合S，并证明你的结论；(3)若α，
，且，任取，求的值.
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2022-01-14更新
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390次组卷
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4卷引用：北京市丰台区2021-2022学年高一上学期期末练习数学试题
9 . 设数集满足：①任意
，有
；②任意
、
，有
或
，则称数集具有性质.
（1）判断数集
是否具有性质，并说明理由；
（2）若数集
且
具有性质.
（i）当
时，求证：
、
、
、
是等差数列；
（ii）当、、、不是等差数列时，写出
的最大值.（结论不需要证明）
满足：①任意，有；②任意、，有或，则称数集具有性质.（1）判断数集
是否具有性质，并说明理由；（2）若数集
且具有性质.（i）当
时，求证：、、、是等差数列；（ii）当
、、、不是等差数列时，写出的最大值.（结论不需要证明）
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2021-09-26更新
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575次组卷
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7卷引用：北京市丰台区2021届高三二模数学试题
10 . 已知集合
.由集合P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论：
①“水滴”图形与y轴相交，最高点记为A，则点A的坐标为
；
②在集合P中任取一点M，则M到原点的距离的最大值为3；
③阴影部分与y轴相交，最高点和最低点分别记为C，D，则
；
④白色“水滴”图形的面积是
.
其中正确的有______ .
.由集合P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论： ①“水滴”图形与y轴相交，最高点记为A，则点A的坐标为
；②在集合P中任取一点M，则M到原点的距离的最大值为3；
③阴影部分与y轴相交，最高点和最低点分别记为C，D，则
；④白色“水滴”图形的面积是
.其中正确的有
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2020-06-23更新
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1258次组卷
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3卷引用：北京市丰台区2020届高三下学期综合练习（二）(二模)数学试题
