1 . 高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义
且
，将
称为“A与B的笛卡尔积”
(1)若
，
，求和
；
(2)试证明：“
”是“
”的充要条件；
(3)若集合
是有限集，将集合的元素个数记为
.已知
，且存在实数
满足
对任意
恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时
和
满足的关系式及
应满足的条件.
且，将称为“A与B的笛卡尔积”(1)若
，，求和；(2)试证明：“
”是“”的充要条件；(3)若集合
是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件.
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解题方法
2 . 全集
，
，定义函数
，
．设全集为
，，
，则下列说法中正确的是（ ）．
①若
，都有
，则
；
②若，都有
，则
；
③若
，则，都有
；
④若
，则．
，，定义函数，．设全集为，，，则下列说法中正确的是（ ）．①若
，都有，则；②若
，都有，则；③若
，则，都有；④若
，则．| A．①② | B．①③ | C．①②④ | D．③④ |
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3 . 对于一个所有元素均为整数的非空集合
，和一个给定的整数
，定义集合
.
(1)若
，直接写出集合
和
；
(2)若
，其中
，求的值，使得集合
中元素的个数最少（直接写出答案，不需要说明理由）；
(3)若
和都是自然数，集合
时，求出使得
成立的所有
和的值，并说明理由.
，和一个给定的整数，定义集合.(1)若
，直接写出集合和；(2)若
，其中，求的值，使得集合中元素的个数最少（直接写出答案，不需要说明理由）；(3)若
和都是自然数，集合时，求出使得成立的所有和的值，并说明理由.
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解题方法
4 . 对非空整数集合M及
，定义
，对于非空整数集合A，B，定义
.
(1)设
，请直接写出集合
；
(2)设
，
，求出非空整数集合B的元素个数的最小值；
(3)对三个非空整数集合A，B，C，若
且
，求
所有可能取值．
，定义，对于非空整数集合A，B，定义.(1)设
，请直接写出集合；(2)设
，，求出非空整数集合B的元素个数的最小值；(3)对三个非空整数集合A，B，C，若
且，求所有可能取值．
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2023-11-05更新
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1223次组卷
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4卷引用：北京市清华大学附属中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题
北京市清华大学附属中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（已下线）2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题变式题16-19（已下线）专题1 集合新定义题(九省联考第19题模式）讲江苏省徐州市沛县第二中学2024届高三下学期期初测试数学试题
名校
5 . 已知集合
（
），
表示集合中的元素个数，当集合的子集
满足
时，称为集合的二元子集，若对集合的任意个不同的二元子集
，
，…，
，均存在对应的集合
满足：①
；②
；③
（
），则称集合具有性质
.
(1)当
时，若集合具有性质，请直接写出集合的所有二元子集以及的一个取值；
(2)当
，
时，判断集合是否具有性质？并说明理由.
（），表示集合中的元素个数，当集合的子集满足时，称为集合的二元子集，若对集合的任意个不同的二元子集，，…，，均存在对应的集合满足：①；②；③（），则称集合具有性质.(1)当
时，若集合具有性质，请直接写出集合的所有二元子集以及的一个取值；(2)当
，时，判断集合是否具有性质？并说明理由.
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6 . 设集合
，
，
，
，，中至少有两个元素，且，满足：
（1）对于任意
，
，若
，则
；
（2）对于任意，
，若
，则
下列命题正确的是__________ 
填序号
若有
个元素，则
有
个元素；
若有个元素，则有
个元素；
若有个元素，则有
个元素；
若有个元素，则有
个元素.
，，，，，中至少有两个元素，且，满足：（1）对于任意
，，若，则；（2）对于任意
，，若，则下列命题正确的是
填序号若有个元素，则有个元素；若有个元素，则有个元素；若有个元素，则有个元素；若有个元素，则有个元素.
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2023高一·上海·专题练习
7 . 设是集合
的一个
元子集（即由个元素组成的集合），且的任何两个非空子集的元素之和不相等；而集合
的包含集合的任意
元子集，则存在的两个子集，使这两个子集的元素之和相等.
(1)当时，试写出一个三元子集；
(2)当
时，证明：
.
是集合的一个元子集（即由个元素组成的集合），且的任何两个非空子集的元素之和不相等；而集合的包含集合的任意元子集，则存在的两个子集，使这两个子集的元素之和相等.(1)当
时，试写出一个三元子集；(2)当
时，证明：.
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2023高一·上海·专题练习
8 . 已知M是满足下列条件的集合：①
，
；②若、
，则
；③若
且
，则
.
(1)判断
是否正确，说明理由；
(2)证明：“若
，则”是真命题；
(3)证明：若，，则
.
，；②若、，则；③若且，则.(1)判断
是否正确，说明理由；(2)证明：“若
，则”是真命题；(3)证明：若
，，则.
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2023高一·上海·专题练习
9 . 已知集合
，对于A的子集S若存在不大于
的正整数，使得对于S中的任意一对元素
，都有
，则称具有性质.
(1)当
时，判断集合
和
是否具有性质P？并说明理由；
(2)若
时，
①如果集合S具有性质P，那么集合
是否一定具有性质P？并说明理由；
②如果集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值.
，对于A的子集S若存在不大于的正整数，使得对于S中的任意一对元素，都有，则称具有性质.(1)当
时，判断集合和是否具有性质P？并说明理由；(2)若
时，①如果集合S具有性质P，那么集合
是否一定具有性质P？并说明理由；②如果集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值.
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10 . 已知数集
（
，
）具有性质：对任意的
，
（
），
与
两数中至少有一个属于，（如
与
中至少有一个属于）.
(1)分别判断数集
和
是否具有性质，并说明理由；
(2)求
的值；
(3)设正整数集合
（
，）具有性质，证明：对任意
（为正整数），
都是
的因数.
（，）具有性质：对任意的，（），与两数中至少有一个属于，（如与中至少有一个属于）.(1)分别判断数集
和是否具有性质，并说明理由；(2)求
的值；(3)设正整数集合
（，）具有性质，证明：对任意（为正整数），都是的因数.
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