1 . 对于定义在上的函数,若存在距离为的两条平行直线和,使得对任意的都有,则称函数有一个宽度为的通道,与分别叫做函数的通道下界与通道上界.
(1)若,请写出满足题意的一组通道宽度不超过3的通道下界与通道上界的直线方程;
(2)若,证明:存在宽度为2的通道;
(3)探究是否存在宽度为的通道?并说明理由.
(1)若,请写出满足题意的一组通道宽度不超过3的通道下界与通道上界的直线方程;
(2)若,证明:存在宽度为2的通道;
(3)探究是否存在宽度为的通道?并说明理由.
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2 . 三角函数的定义是:在单位圆C:中,作一过圆心的射线与单位圆交于点P,自x轴正半轴开始逆时针旋转到达该射线时转过的角大小为θ,则P点坐标为,转动中扫过的圆心角为θ的扇形,由圆弧面积公式和弧度角的定义,可知面积.类似地对于双曲三角函数有这样的定义:在单位双曲线E:中,过原点作一射线交右支于点P,该射线和x轴及双曲线围成的曲边三角形面积是,双曲角,则P的坐标是.其中,称为双曲余弦函数,称为双曲正弦函数同样,有类似定义双曲正切函数双曲余切函数且有如下关系式:,
(Ⅰ)双曲三角函数有如下和差公式,请任选其一进行证明:
①;
②;
(Ⅱ)①求函数在R上的值域;
②若对,关于x的方程有解,求实数a的取值范围.
类似三角函数的反函数,试研究双曲三角函数的反函数artanhx,arcothx.
(2)①证明:
②已知的级数展开式为,写出的级数展开式.
(1)阅读上述文字并求出,的初等函数表达式.
(Ⅰ)双曲三角函数有如下和差公式,请任选其一进行证明:
①;
②;
(Ⅱ)①求函数在R上的值域;
②若对,关于x的方程有解,求实数a的取值范围.
类似三角函数的反函数,试研究双曲三角函数的反函数artanhx,arcothx.
(2)①证明:
②已知的级数展开式为,写出的级数展开式.
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解题方法
3 . 我们知道,函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为:函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数,则下列结论正确的有( )
A.函数的值域为 |
B.函数的图象关于点成中心对称图形 |
C.函数的导函数的图象关于直线对称 |
D.若函数满足为奇函数,且其图象与函数的图象有2024个交点,记为,则 |
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2024-04-13更新
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1876次组卷
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7卷引用:湖北省七市州2024届高三下学期3月联合统一调研测试数学试题
湖北省七市州2024届高三下学期3月联合统一调研测试数学试题山东省菏泽市第一中学人民路校区2024届高三下学期2月月考数学试题(已下线)2.3 基本初等函数(高考真题素材库之十年高考真题)(已下线)2.4函数的图象(高考真题素材之十年高考)山东省潍坊市昌乐北大公学学校2024届高三下学期3月监测数学试题(已下线)专题1 巧用性质 对称求和【练】(已下线)湖北省七市州2024届高三下学期3月联合统一调研测试数学试题变式题11-15
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4 . 设全集为,定义域为的函数是关于x的函数“函数组”,当n取中不同的数值时可以得到不同的函数.例如:定义域为的函数,当时,有若存在非空集合满足当且仅当时,函数在上存在零点,则称是上的“跳跃函数”.
(1)设,若函数是上的“跳跃函数”,求集合;
(2)设,若不存在集合使为上的“跳跃函数”,求所有满足条件的集合的并集;
(3)设,为上的“跳跃函数”,.已知,且对任意正整数n,均有.
(i)证明:;
(ii)求实数的最大值,使得对于任意,均有的零点.
(1)设,若函数是上的“跳跃函数”,求集合;
(2)设,若不存在集合使为上的“跳跃函数”,求所有满足条件的集合的并集;
(3)设,为上的“跳跃函数”,.已知,且对任意正整数n,均有.
(i)证明:;
(ii)求实数的最大值,使得对于任意,均有的零点.
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5 . 已知函数,
(1)若的值域为,求满足条件的整数的值;
(2)若非常数函数是定义域为的奇函数,且,,,求的取值范围.
(1)若的值域为,求满足条件的整数的值;
(2)若非常数函数是定义域为的奇函数,且,,,求的取值范围.
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解题方法
6 . 已知函数的定义域为,若存在实数,使得对于任意都存在满足,则称函数为“自均值函数”,其中称为的“自均值数”.
(1)判断定义域为的三个函数,,是否为“自均值函数”,给出判断即可,不需说明理由;
(2)判断函数是否为“自均值函数”,并说明理由;
(3)若函数为”自均值函数”,求的取值范围.
(1)判断定义域为的三个函数,,是否为“自均值函数”,给出判断即可,不需说明理由;
(2)判断函数是否为“自均值函数”,并说明理由;
(3)若函数为”自均值函数”,求的取值范围.
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7 . 设区间是函数定义域内的一个子集,若存在,使得成立,则称是的一个“不动点”,也称在区间上存在不动点,例如的“不动点”满足,即的“不动点”是.设函数,.
(1)若,求函数的不动点;
(2)若函数在上存在不动点,求实数的取值范围.
(1)若,求函数的不动点;
(2)若函数在上存在不动点,求实数的取值范围.
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解题方法
8 . 已知函数的定义域为,若存在实数,使得对于任意都存在满足,则称函数为“自均值函数”,其中称为的“自均值数”.
(1)判断函数是否为“自均值函数”,并说明理由;
(2)若函数,为“自均值函数”,求的取值范围.
(1)判断函数是否为“自均值函数”,并说明理由;
(2)若函数,为“自均值函数”,求的取值范围.
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解题方法
9 . 已知函数,.
(1)当时,求函数的值域;
(2)设函数,若对任意,存在,使得,求实数m的取值范围.
(1)当时,求函数的值域;
(2)设函数,若对任意,存在,使得,求实数m的取值范围.
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2024-03-04更新
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265次组卷
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2卷引用:安徽省宣城市2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题
名校
10 . 已知函数满足,有.
(1)求的解析式;
(2)若,函数,且,,使,求实数a的取值范围.
(1)求的解析式;
(2)若,函数,且,,使,求实数a的取值范围.
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2024-03-01更新
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234次组卷
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2卷引用:河南省三门峡市五县市2023-2024学年高一上学期1期末调研考试数学试题