名校
解题方法
1 . 已知函数f(x)
，g(x)＝lnx－1，其中e为自然对数的底数．
（1）当x＞0时，求证：f(x)≥g(x)＋2；
（2）是否存在直线与函数y＝f(x)及y＝g(x)的图象均相切？若存在，这样的直线最多有几条？并给出证明．若不存在，请说明理由．
，g(x)＝lnx－1，其中e为自然对数的底数．（1）当x＞0时，求证：f(x)≥g(x)＋2；
（2）是否存在直线与函数y＝f(x)及y＝g(x)的图象均相切？若存在，这样的直线最多有几条？并给出证明．若不存在，请说明理由．
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2021-09-12更新
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888次组卷
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9卷引用：福建省泉州市泉港区第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
福建省泉州市泉港区第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题江苏省南通市海安市2021-2022学年高三上学期期初学业质量监测数学试题宁夏银川一中2022届高三上学期第二次月考数学（理）试题陕西省西安中学2021-2022学年高三上学期期中理科数学试题四川省南充高级中学2021-2022学年高三上学期月考四数学（理）试题（已下线）专题36 盘点导数与函数零点的交汇问题—备战2022年高考数学二轮复习常考点专题突破重庆市南开中学校2023届高三上学期期末数学试题江苏省南通市海安高级中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题重庆市荣昌中学校2024届高三上学期第一次月考数学试题
解题方法
2 . 记集合
，集合
，若
，则称直线
为函数
在
上的“最佳上界线”；若
，则称直线为函数在上的“最佳下界线”．
(1)已知函数
，
．若
，求
的值；
(2)已知
．
（ⅰ）证明：直线是曲线
的一条切线的充要条件是直线是函数
在
上的“最佳下界线”；
（ⅱ）若
，直接写出集合
中元素的个数（无需证明）．
，集合，若，则称直线为函数在上的“最佳上界线”；若，则称直线为函数在上的“最佳下界线”．(1)已知函数
，．若，求的值；(2)已知
．（ⅰ）证明：直线
是曲线的一条切线的充要条件是直线是函数在上的“最佳下界线”；（ⅱ）若
，直接写出集合中元素的个数（无需证明）．
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3 . 已知函数
．
(1)若
，曲线
在点
处的切线与直线
垂直，证明：
；
(2)若对任意的
且
，函数
，证明：函数在
上存在唯一零点．
．(1)若
，曲线在点处的切线与直线垂直，证明：；(2)若对任意的
且，函数，证明：函数在上存在唯一零点．
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2024-03-12更新
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940次组卷
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3卷引用：福建省莆田第四中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷
4 . 设函数
，在点
处的切线斜率为2.
(1)求
的值；
(2)证明：
.
，在点处的切线斜率为2.(1)求
的值；(2)证明：
.
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5 . 已知函数
，在点
处切线方程为
．
(1)求实数的值；
(2)讨论
的单调性；
(3)设为两个不相等的正数，且
，证明：
．
，在点处切线方程为．(1)求实数
的值；(2)讨论
的单调性；(3)设
为两个不相等的正数，且，证明：．
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解题方法
6 . ①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数
，
的导函数分别为
，
，且
，则
.
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意
，均有
成立，且
，则称函数为区间
上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断
是否为区间
上的2阶无穷递降函数；
(2)计算：
；
(3)证明：
，
.
，的导函数分别为，，且，则.②设
，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断
是否为区间上的2阶无穷递降函数；(2)计算：
；(3)证明：
，.
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2024-03-21更新
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1206次组卷
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4卷引用：福建省厦门市外国语学校2023-2024学年高二下学期4月份阶段性检测数学试题
福建省厦门市外国语学校2023-2024学年高二下学期4月份阶段性检测数学试题浙江省金丽衢十二校2024届高三下学期第二次联考数学试题四川省阆中中学校2023-2024学年高二下学期4月期中学习质量检测数学试题（已下线）浙江省金丽衢十二校2024届高三下学期第二次联考数学试题变式题16-19
7 . 已知函数
，
且
．
(1)证明：曲线
在点
处的切线方程过坐标原点．
(2)讨论函数的单调性．
，且．(1)证明：曲线
在点处的切线方程过坐标原点．(2)讨论函数
的单调性．
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解题方法
8 . 设函数
(1)若函数与
的图象存在公切线，求的取值范围；
(2)若方程
有两个不同的实根，求证：
．
(1)若函数
与的图象存在公切线，求的取值范围；(2)若方程
有两个不同的实根，求证：．
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9 . 已知函数
.
(1)求曲线在
处切线的斜率；
(2)当
时，比较与x的大小；
(3)若函数
，且
（
），证明：
.
.(1)求曲线
在处切线的斜率；(2)当
时，比较与x的大小；(3)若函数
，且（），证明：.
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2023-10-05更新
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540次组卷
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8卷引用：福建省莆田市第六中学2024届高三上学期1月质检模拟数学试题
10 . 已知，函数
．
（I）求曲线
在点
处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得
对任意
成立，求实数b的取值范围．
，函数．（I）求曲线
在点处的切线方程：（II）证明
存在唯一的极值点（III）若存在a，使得
对任意成立，求实数b的取值范围．
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2021-07-05更新
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17275次组卷
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28卷引用：福建省泉州市泉港区第二中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
福建省泉州市泉港区第二中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（已下线）第03讲 极值与最值（练习）（已下线）考点20 导数的应用--不等式问题 2024届高考数学考点总动员【练】（已下线）专题07 函数与导数常考压轴解答题（12大核心考点）（讲义）（已下线）专题22 导数解答题（文科）-32021年天津高考数学试题（已下线）2021年新高考天津数学高考真题变式题16-20题（已下线）考点07 导数及其应用-备战2022年高考数学学霸纠错（新高考专用）（已下线）热点04 导数及其应用-2022年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）（已下线）技巧04 解答题解法与技巧（练）--第二篇 解题技巧篇-《2022年高考数学二轮复习讲练测（新高考·全国卷）》（已下线）热点16 函数与导数的综合应用-2022年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（已下线）押新高考第22题 导数-备战2022年高考数学临考题号押题（新高考专用）（已下线）押全国卷（理科）第21题 导函数综合-备战2022年高考数学（理）临考题号押题（全国卷）（已下线）2022年高考考前20天终极冲刺攻略（一）【理科数学】（5月20日）江苏省徐州市第七中学2022届高三下学期高考前模拟一数学试题（已下线）第05讲 利用导数研究不等式能成立（有解）问题（讲+练）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（已下线）考向16 利用导数研究函数的极值与最值（重点）2023版 苏教版(2019) 选修第一册 突围者 第5章 章末培优专练上海市进才中学2023届高三上学期10月月考数学试题（已下线）第21讲 导数的八种解题模型-2（已下线）专题16 选择性必修第二册综合练习上海市嘉定区封浜高级中学2023届高三上学期期中数学试题（已下线）专题10 导数压轴解答题（综合类）-2（已下线）第五章：一元函数的导数及其应用 章末测试-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(人教A版2019选择性必修第二册)浙江省宁波市镇海中学2023届高三下学期4月统一测试数学试题（已下线）重组卷01天津市南开中学2024届高三上学期统练2数学试题（已下线）第七章 导数与不等式能成立（有解）问题 专题四 双变量能成立（有解）问题的解法 微点2 双变量双函数能成立（有解）问题的解法（一）
