1 . 设函数在区间上可导，为函数的导函数．若是上的减函数，则称为上的“上凸函数”；反之，若为上的“上凸函数”，则是上的减函数．
(1)判断函数在上是否为“上凸函数”，并说明理由；
(2)若函数是其定义域上的“上凸函数”，求的取值范围；
(3)已知函数是定义在上的“上凸函数”，为曲线上的任意一点，求证：除点外，曲线上的每一个点都在点处切线的下方．

2 . 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，分别为的极大值点和极小值点，记，．
（ⅰ）证明：直线AB与曲线交于另一点C；
（ⅱ）在（i）的条件下，判断是否存在常数，使得．若存在，求n；若不存在，说明理由．
附：，．

3 . 若函数在定义域内存在两个不同的数，，同时满足，且在点，处的切线斜率相同，则称为“切合函数”.
(1)证明：为“切合函数”；
(2)若为“切合函数”（其中为自然对数的底数），并设满足条件的两个数为，.
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）求证：.

4 . 一类项目若投资1元，投资成功的概率为．如果投资成功，会获得元的回报；如果投资失败，则会亏掉1元本金．为了规避风险，分多次投资该类项目，设每次投资金额为剩余本金的，1956年约翰·拉里·凯利计算得出，多次投资的平均回报率函数为，并提出了凯利公式．
(1)证明：当时，使得平均回报率最高的投资比例满足凯利公式；
(2)若，，求函数在上的零点个数．

5 . 设函数，.
(1)①当时，证明：；
②当时，求的值域；
(2)若数列满足，，，证明：（）.

6 . 已知定义在上的函数，其导函数为，记集合为函数所有的切线所构成的集合，集合为集合中所有与函数有且仅有个公共点的切线所构成的集合，其中，.
(1)若，判断集合和的包含关系，并说明理由：
(2)若（），求集合中的元素个数:
(3)若，证明：对任意，，为无穷集.

7 . 已知两点，和曲线，若C经过原点的切线为，且直线，则（       ）

A．

B．

C．

D．

8 . 麦克斯韦妖（Maxwell＇s demon），是在物理学中假想的妖，能探测并控制单个分子的运动，于1871年由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的．当时麦克斯韦意识到自然界存在着与熵增加相拮抗的能量控制机制．但他无法清晰地说明这种机制．他只能诙谐地假定一种“妖”，能够按照某种秩序和规则把作随机热运动的微粒分配到一定的相格里．麦克斯韦妖是耗散结构的一个雏形．可以简单的这样描述，一个绝热容器被分成相等的两格，中间是由“妖”控制的一扇小“门”，容器中的空气分子作无规则热运动时会向门上撞击，“门”可以选择性的将速度较快的分子放入一格，而较慢的分子放入另一格，这样，其中的一格就会比另外一格温度高，可以利用此温差，驱动热机做功．这是第二类永动机的一个范例．而直到信息熵的发现后才推翻了麦克斯韦妖理论．设随机变量X所有取值为1，2，…n，且（，2，…n），定义X的信息熵，则下列说法正确的有（       ）

A．n=1时

B．n=2时，若，则与正相关

C．若，，

D．若n=2m，随机变量y的所有可能取值为1,2,…,m，且（j=1,2,…,m）则

9 . 已知函数，，则（       ）

A．与的定义域不同，与的值域只有1个公共元素

B．在与的公共定义域内，的单调性与的单调性完全相反

C．的极小值点恰好是的极大值点，的极大值点恰好是的极小值点

D．函数既无最小值也无最大值，函数既有最小值也有最大值

10 . 设是定义域为的奇函数，且的图象关于直线对称，若时，，则（       ）

A．为偶函数

B．在上单调递减

C．在区间上有4046个零点

D．