1 . 已知，函数．
(1)证明存在唯一极大值点；
(2)若存在，使得对任意成立，求的取值范围．

2 . 已知函数为的导数.
(1)当时，求的最小值；
(2)当时，恒成立，求的取值范围.

3 . 已知函数，，.
（1）当时，，求的取值范围；
（2）证明：当时，.

4 . 已知函数．
（1）证明：在区间内存在唯一的零点；
（2）若对于任意的，都有，求整数的最大值．

5 . 已知函数，，其中.
（1）若，在平面直角坐标系中，过坐标原点分别作函数与的图象的切线，，求，的斜率之积；
（2）若在区间上恒成立，求的最小值.

6 . 已知为实数，函数
（1）若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围；
（2）若，对任意，，不等式恒成立，求的最小值．

7 . 已知函数，．
（1）求函数的极值；
（2）若函数有2个不同的零点，求实数a的取值范围；
（3）若对任意的，恒成立，求实数a的最大值．

8 . 已知函数.
（1）求函数的图象在（为自然对数的底数）处的切线方程；
（2）若对任意的，均有，则称为在区间上的下界函数，为在区间上的上界函数.
①若，求证：为在上的上界函数；
②若，为在上的下界函数，求实数的取值范围.

9 . 把一块边长为的正六边形铁皮，沿图中的虚线（虚线与正六边形的对应边垂直）剪去六个全等的四边形（阴影部分），折起六个矩形焊接制成一个正六棱柱形的无盖容器（焊接损耗忽略），设容器的底面边长为.

（1）若，且该容器的表面积为时，在该容器内注入水，水深为，若将一根长度为的玻璃棒（粗细忽略）放入容器内，一端置于处，另一端置于侧棱上，忽略铁皮厚度，求玻璃棒浸入水中部分的长度；
（2）求该容器的底面边长的范围，使得该容器的体积始终不大于.

10 . 已知函数，，用max{m，n}表示m，n中的最大值，设．若在上恒成立，则实数a的取值范围为_____