1 . 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a，b，c经过第n次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为．
(1)若，求，；
(2)设满足的n的最小值为，求及 （其中[x]是指不超过x的最大整数，如，）；
(3)是否存在实数a，b，c，使得数列{}为等比数列？若存在，求b，c满足的条件；若不存在，请说明理由．

2 . 已知数列满足：，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是___________.

3 . 已知数列满足，则最接近的整数为___________.

5 . 已知是无穷数列，且，给出该数列的两个性质：①对于中任意两项，在中都存在一项，使得；②对于中任意项，在中都存在两项，使得.
（1）判断数列{2n}和数列是否满足性质①（直接写出答案即可）；
（2）若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
（3）若是递增数列，，且同时满足性质①和性质②，证明：数列为等比数列.

6 . 对于数集X={-1，x₁，x₂，，x_n}，其中，n ≥ 2，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P.例如{-1，1，2}具有性质P.
（1）若x > 2，且{-1，1，2，x}具有性质P，求x的值；
（2〉若X具有性质P，求证：1 ∈X ，且当x_n >1 时，x₁= 1；
（3）若X具有性质P，且x₁= 1 ，x₂ =q （q为常数），求有穷数列x₁，x₂，，x_n的通项公式.

7 . 已知数列，且.若是一个非零常数列，则称是一阶等差数列，若是一个非零常数列，则称是二阶等差数列.
（1）已知，试写出二阶等差数列的前五项；
（2）在（1）的条件下，证明：；
（3）若的首项，且满足，判断是否为二阶等差数列.

8 . 给定数列.对，该数列前项的最小值记为，后项的最大值记为，令.
（1）设数列为2，1，6，3，写出，，的值；
（2）设是等比数列，公比，且，证明：是等比数列；
（3）设是公差大于0的等差数列，且，证明：是等差数列.

9 . 已知:数列满足.
(1)设,求证:数列是等比数列;
(2)若数列满足,判断数列是否是等差数列,并说明理由;
(3)设,求证:.

10 . 设数列的前项和为，且满足，．
（）求证： 数列为等比数列．
（）求通项公式．
（）设，求证：．