1 . 已知数到满足，，记，则________；数列的通项公式为________．

2 . 数列中，，，记为中在区间中的项的个数，则数列的前项和________．

3 . 设为数列的前n项和，且，.
（1）求证: 数列是等比数列：
（2）若对任意为数列的前n项和，求证：.

4 . 已知数列的前项和为，且对任意都成立.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
（Ⅲ）设，求数列的前项和.

5 . 已知数列的前项和为满足：．
（1）求证：数列是等比数列，并且求；
（2）令，令，求数列的前项和．

6 . 在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列进行“扩展”，第一次得到数列；第二次得到数列；….设第次“扩展”后得到的数列为，并记，其中，则数列的前项和为__________．

7 . 对于无穷数列和函数，若，则称是数列的母函数．
(1)定义在上的函数满足：对任意，都有，且；又数列满足．
①求证：是数列的母函数；
②求数列的前项和．
(2)已知是数列的母函数，且，若数列的前项和为，求证：

8 . 已知数列的首项，且，．
（）证明数列是等比数列并求数列的通项公式．
（）证明：．

9 . 设数列的前项n和为，若对于任意的正整数n都有.
（1）设，求证：数列是等比数列，并求出的通项公式．
（2）求数列的前n项和.

10 . 已知数列满足.
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)证明： .