1 . 已知数列的首项为，为数列的前项和，，其中，.
(1)若时，成等差数列，求数列的通项公式；
(2)设双曲线的离心率为，且，求证：.

2 . 已知正项等比数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，设其前n项和为，求证：．

3 . 对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知且的不动点的集合为，以表示集合中的最小元素．
(1)若，求中元素个数；
(2)当恰有一个元素时，的取值集合记为．
（ⅰ）求；
（ⅱ）若为中的最小元素，数列满足，．求证：， ．

4 . 已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若在的图象上有一点列，若直线的斜率为，
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）求证：．

5 . 基本不等式：对于2个正数，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即，当且仅当时，等号成立.可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，.当且仅当时，等号成立.若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①；②为单调数列，则称数列具有性质.
(1)若；求数列的最小项；
(2)若数列的前项和为，判断数列是否具有性质，并说明理由；
(3)若，求证：数列具有性质.

6 . 已知数列中，，，．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)记数列的前项和，求．

7 . 已知等差数列的前项和为，满足．
(1)求的值；
(2)设的前项和为，求证：．

8 . 已知数列的首项是3，且满足．
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的前项和．

9 . 在直角坐标平面内，将函数及在第一象限内的图象分别记作，，点在上．过作平行于x轴的直线，与交于点，再过点作平行于y轴的直线，与交于点．
(1)若，请直接写出，的值；
(2)若，求证：是等比数列；
(3)若，求证：．

10 . 求证：