1 . 如图，在直三棱柱中，，，为的中点.

(1)证明：平面.
(2)若以为直径的球的表面积为，求二面角的余弦值.

2 . 已知圆锥的顶点为P，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为．
(1)求该圆锥的侧面积；
(2)求圆锥的内切球体积．

3 . 如图，AB是圆柱的一条母线，BC过底面圆心O，D是圆O上一点．已知，

(1)求该圆柱的表面积；
(2)将四面体ABCD绕母线AB所在的直线旋转一周，求的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．

4 . 如图截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体.

(1)该截角四面体的表面积；
(2)该截角四面体的体积.

5 . 如图，在多面体中，底面是正方形，，，底面.

(1)证明：平面；
(2)若，求该多面体的体积.

6 . 在底面是矩形的四棱锥中，面ABCD，，.
（1）求证：面面PDC；
（2）求四棱锥外接球的体积.

7 . 如图，在斜三棱柱中，，，，侧面与底面所成的二面角为120°，分别是棱、的中点．
（1）求与底面所成的角；

（2）证明平面；

（3）求经过四点的球的体积．

8 . 在如图所示的几何体中，，平面，，，，.
   
（1）证明：平面；
（2）过点作一平行于平面的截面，画出该截面，说明理由，并求夹在该截面与平面之间的几何体的体积.

9 . 如图，已知五面体，其中内接于圆，是圆的直径，四边形为平行四边形，且平面．

（1）证明：平面平面；
（2）若，，且二面角所成角的余弦值为，试求该几何体的体积．

10 . 如图1，在直角梯形中，，是的中点，是与的交点，将沿折起到图2中的位置，得到四棱锥.

（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）当平面平面时，四棱锥的体积为，求的值.