1 . 如图，在正方体中，，是棱上任一点，若平面和平面所成的角为，则的最小值为________．

2 . 如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，已知，，，为棱上的一点．

(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值．

3 . 已知长方体ABCDA₁B₁C₁D₁的底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA₁＝，过BD₁作平面α分别交棱AA₁，CC₁于E，F，则四边形BFD₁E面积的最小值为________.

4 . 如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点.

(1)求证：直线平面；
(2)求证：；
(3)求二面角的余弦值.

5 . 如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为，是圆所在平面内一点，且是圆的切线，连接交圆于点，连接．
   
(1)求证：平面平面；
(2)若是的中点，连接，，当二面角的大小为时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

6 . 如图，在正方体中，是棱上的动点．下列说法正确的是（       ）

A．对任意动点，在平面内不存在与平面平行的直线

B．对任意动点，在平面内存在与平面垂直的直线

C．当点从运动到的过程中，点到平面的距离逐渐变大

D．当点从运动到的过程中，二面角的大小不变

7 . 如图，矩形中，，，是线段（不含点上一动点，把沿折起得到△，使得平面平面，分别记，与平面所成角为，，平面与平面所成锐角为，则　　

A．

B．

C．

D．

8 . 如图，已知四棱锥中，，侧面为边长等于2的正三角形，底面为菱形，侧面与底面所成的二面角为．

(1)求点P到平面的距离；
(2)求面与面所成二面角的大小．

9 . 已知正方形，E、F分别是边的中点，将沿折起，如图所示，记二面角的大小为．

(1)证明：平面；
(2)若为正三角形，试判断点A在平面内的射影G是否在直线上，证明你的结论，并求角的余弦值．

10 . 如图，是底面边长为1的正三棱锥，D､E､F分别为棱长上的点，截面底面ABC，且棱台与棱锥的棱长和相等（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）

(1)证明：为正四面体；
(2)若，求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）；
(3)设棱台体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明，若不存在，请说明理由（直平行六面体指侧棱垂直于底面，底面是平行四边形的四棱柱）