1 . 已知，，求：
(1)线段的长度及其中点坐标；
(2)到两点距离相等的点的坐标满足的条件．

2 . 如图，棱长为2的正方体中，E、F分别是棱AB，AD的中点，G为棱上的动点．

   

(1)是否存在一点G，使得面？若存在，指出点G位置，并证明你的结论，若不存在，说明理由；
(2)若直线EG与平面所成的角为，求三棱锥的体积；
(3)求三棱锥的外接球半径的最小值．

3 . 如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，其中，，，，点是的中点.
       
(1)证明：；
(2)求二面角的正弦值.

4 . 如图，在正四棱锥中，底面边长为，点Р在线段SD上，且的面积为1．
   
(1)是否存在点P，使得直线SC与平面所成角的余弦值为？若存在，求出点P的位置：若不存在，说明理由．
(2)若点Р是SD的中点，点Q是弦SC所对的外接圆劣弧上的一个动点，求PQ长度的取值范围．

5 . 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记．

   

(1)问a为何值时，MN的长最小？
(2)当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．

8 . 某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱，其底面边长为4，高为1，工作台的上半部分是一个底面半径为的圆柱体的四分之一，点为圆弧（包括端点）上的动点．

(1)若平面时，求点与的最短距离．
(2)若，当点在圆弧（包括端点）上移动时，求平面与平面所成的锐二面角的正切值的取值范围．

9 . 如图，四棱锥的底面为直角梯形，平面平面，，，，，．
      
(1)若三棱锥的外接球的球心恰为中点，求与平面所成角的正弦值；
(2)求四棱锥体积的最大值．

10 . 如图，已知四棱锥是以为斜边的等腰直角三角形，.

(1)在线段上是否存在一点，使得平面；
(2)求四棱锥的体积.