1 . 已知直线与椭圆相交于两点，为弦的中点，为坐标原点，直线的斜率记为.
(1)证明：；
(2)若，焦距为.
①求椭圆的方程；
②若点为椭圆的右顶点，，且直线与轴围成底边在轴上的等腰三角形，求直线的方程.

2 . 已知抛物线：（）的焦点为，为抛物线上一点，，若的最小值为2．
(1)求抛物线的方程；
(2)直线过点且交抛物线于，两点，求的最小值．

5 . 已知椭圆的左右焦点分别为，以线段为直径的圆过C的上下顶点，点在C上，其中e为C的离心率.
(1)求椭圆C的方程和短轴长；
(2)点在C上，且在x轴的上方，满足，直线与直线的交点为P，求的面积.

6 . 已知在曲线上，直线交曲线于，两点．
(1)求曲线的方程；
(2)若过且斜率的直线与曲线交于，两点，求的最小值．

7 . 如图，抛物线是抛物线内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与抛物线相交于点与抛物线相交于点，，当恰好为线段的中点时，．

   

(1)求抛物线的方程；
(2)求的最小值．

8 . 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
(1)求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；
(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求实数的值．

10 . 苏州市“东方之门”是由南北两栋建筑组成的双塔连体建筑（门顶厚度忽略不计），“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图所示，现测得门的内侧地面上两塔之间的距离约为米，距离门顶竖直距离米处两塔内侧之间的距离约为米则“东方之门”的高度约为多少米?