1 . 如图，已知点，直线：，为平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为点，若

(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点作直线交轨迹于、两点.记直线、的斜率分别为、，求的值；

2 . 已知抛物线经过点，其焦点为．
(1)求抛物线的方程；
(2)设点在抛物线上，试问在直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

3 . 已知抛物线的准线上一点，直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于不同的两点、．
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线、、的斜率分别为、、，求证：．

4 . 已知曲线的焦点为，曲线上有一点满足.
(1)求抛物线的方程；
(2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线于异于原点的两点，直线与轴相交于，试探究轴上存在一点是否存在异于的定点满足恒成立.若存在，请求出点坐标.

5 . 已知抛物线：，直线，都经过点．当两条直线与抛物线相切时，两切点间的距离为4．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若直线，分别与抛物线依次交于点 E，F 和 G，H，直线 EH，FG 相交于点．若直线，关于 轴对称，则点是否为定点？请说明理由．

6 . 已知O为坐标原点，A，B为抛物线上异于点O的两个动点，且．若点O到直线AB的距离的最大值为8，则p的值为______．

7 . 已知为抛物线的焦点，过的动直线交抛物线于两点．当直线与轴垂直时，．
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线的斜率为1且与抛物线的准线相交于点，抛物线上存在点使得直线的斜率成等差数列，求点的坐标．

8 . 已知抛物线：的焦点为，其准线与轴交于点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)已知为坐标原点，直线与抛物线交于，两点，且，问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；
(3)在（2）的条件下求面积的最小值．

9 . 已知抛物线上的点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过抛物线上一点P作圆的两条斜率都存在的切线，分别与抛物线交于异于点P的M，N两点．证明：直线MN与圆相切．

10 . 已知抛物线，点在抛物线C上，过点M作抛物线C的切线，交x轴于点P，点O为坐标原点．
(1)求P点的坐标；
(2)点E的坐标为，经过点的直线交抛物线于A，B两点，交线段OM于点Q，记EA，EB，EQ的斜率分别为，，，是否存在常数使得．若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．