1 . 直线与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，已知＝（ax₁，by₁），＝（ax₂，by₂），若且椭圆的离心率，又椭圆经过点，O为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

2 . 已知抛物线的焦点为F，椭圆C： 的离心率为，是它们的一个交点，且．
(1)求椭圆C的方程；
（2）已知,点A，B为椭圆上的两点，且弦AB不平行于对称轴，是的中点，试探究是否为定值，若不是，请说明理由．

3 . 在平面直角坐标系中，N为圆C：上的一动点，点D（1,0），点M是DN的中点，点P在线段CN上，且.
（Ⅰ）求动点P表示的曲线E的方程；
（Ⅱ）若曲线E与x轴的交点为，当动点P与A，B不重合时，设直线与的斜率分别为，证明：为定值；

4 . 设椭圆的左右焦点分别为，离心率，点在直线的左侧，且F₂到l的距离为.
（1）求的值；
（2）设是上的两个动点，，证明：当取最小值时，.

5 . 给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”．若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为．
(1)求椭圆的方程及其“伴随圆”方程；
(2)若倾斜角为的直线与椭圆只有一个公共点，且与椭圆的伴随圆相交于、两点，求弦的长；
(3)点是椭圆的伴随圆上的一个动点，过点作直线、，使得、与椭圆都只有一个公共点，求证：⊥.

6 . 已知焦点在x轴上，离心率为的椭圆的一个顶点是抛物线的焦点，过椭圆右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴于点M，且
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：为定值．