1 . 已知椭圆的左、右焦点分别是，其离心率，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)点是椭圆上除长轴端点外的任一点，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点，设直线的斜率分别为，若，证明：为定值，并求出这个定值；
(3)点是椭圆上除长轴端点外的任一点，设的角平分线交椭圆的长轴于点，求的取值范围．

2 . 已知椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为，O为坐标原点，线段OA的中点为D，且.
(1)求C的方程；
(2)已知点M、N均在直线上，以MN为直径的圆经过O点，圆心为点T，直线AM、AN分别交椭圆C于另一点P、Q，证明直线PQ与直线OT垂直.

3 . 已知椭圆的右焦点为，上顶点为H，O为坐标原点，，点在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设经过点且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点，．若M，N分别为直线AP，BQ与y轴的交点，记，的面积分别为，，求的值．

4 . 已知椭圆经过点，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的左、右两个顶点分别为，为直线上的动点，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，为椭圆的左焦点，求证：的周长为定值．

5 . 已知椭圆的左焦点为，抛物线，与交于点．

（1）求与的方程；
（2）动直线与交于不同两点、，与交于不同两点、，且，记、的斜率分别为是、，满足，记线段的中点的纵坐标为，求的取值范围．

6 . 已知椭圆C：()的离心率为，短轴一个端点到右焦点F的距离为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F的直线l交椭圆于A､B两点，交y轴于P点，设，，试判断是否为定值？请说明理由.

7 . 已知椭圆：的两个焦点分别是，直线：与椭圆交于两点.
（1）若为椭圆短轴上的一个顶点，且是直角三角形，求的值；
（2）若，且，求证：的面积为定值.

8 . 已知椭圆的中心在坐标原点，离心率等于，该椭圆的一个长轴端点恰好是抛物线的焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆的两个交点记为、，其中点在第一象限，点、是椭圆上位于直线两侧的动点.当、运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

9 . 已知椭圆方程为，射线与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A，B两点（异于M）．
（1）求证：直线AB的斜率为定值；
（2）求面积的最大值．

10 . 设椭圆，定义椭圆的“伴随圆”方程为；若抛物线的焦点与椭圆C的一个短轴端点重合，且椭圆C的离心率为．
(1)求椭圆C的方程和“伴随圆”E的方程；
(2)过“伴随圆”E上任意一点P作椭圆C的两条切线PA，PB，A，B为切点，延长PA与“伴随圆”E交于点Q，O为坐标原点．     
（i）证明：；
（ ii）若直线OP，OQ的斜率存在，设其分别为，试判断是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由．