1 . 设抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线与抛物线交于、两点，若（为坐标原点）．求证：直线过定点．

2 . 已知是抛物线：的焦点，是抛物线上一点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）直线与抛物线交于，两点，若（为坐标原点），则直线是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由.

3 . 在直角坐标系xOy中，已知点，，直线AM，BM交于点M，且直线AM与直线BM的斜率满足：．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）设直线l交曲线C于P，Q两点，若直线AP与直线AQ的斜率之积等于，证明：直线l过定点．

4 . 曲线：与曲线：交于、两点，为原点，.
（1）求；
（2）曲线上一点的纵坐标为2，过点作直线、，、的斜率分别为、，，、分别交曲线于异于的不同点，，证明：直线恒过定点.

5 . 已知圆，动点，线段QF与圆F相交于点P，线段PQ的长度与点Q到y轴的距离相等．
（Ⅰ）求动点Q的轨迹W的方程；
（Ⅱ）过点作两条互相垂直的直线与W的交点分别是M和N（M在N的上方，A，M，N为不同的三点），求向量在y轴正方向上的投影的取值范围．

6 . 已知过定点的直线与抛物线 交于两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）是抛物线上不同于的点，若直线恒过点，求证：直线也恒过定点，并求出该定点的坐标.

7 . 已知为坐标原点，抛物线的焦点坐标为，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，．
（Ⅰ）证明：直线过定点；
（Ⅱ）以，为切点作的切线，设两切线的交点为，点为圆上任意一点，求的最小值．

8 . 已知是圆：的直径，动圆过，两点，且与直线相切.
（1）若直线的方程为，求的方程；
（2）在轴上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恰好与轴相切？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

9 . 已知动圆M与直线相切，且与圆N：外切
（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（2）点O为坐标原点，过曲线C外且不在y轴上的点P作曲线C的两条切线，切点分别记为A，B，当直线与的斜率之积为时，求证：直线过定点.

10 . 已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)直线与抛物线交于，两点，若（为坐标原点），则直线是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由.